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数学建模_人口模型与预测 数学建模 人口模型与预测 摘要 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的，由于人口基数大，尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策，人口的增长依然很快，巨大的人口压力给我国的社会、政治、经济、医疗、就业等带来了一系列的问题。因此，研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。 我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界(或某地区)的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上长有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。 人类社会进入20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间,由一百年缩短为十二三年.我们赖以生存的地球,已经携带着它的60亿子民踏入21世纪. 长期以来,人类的繁殖一直在自发地进行着,只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化,人们才猛然醒悟,开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题 本文建立两个模型 (1)中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 (2)中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线 和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 关键词 指数增长模型 Logistic模型 MATLAB软件 人口增长预测 1 数学建模 1 问题的提出 t,0下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年()，N,101654N,2000000m万人，万人。 年 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 人口 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 (万) 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人口 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 (万) 要求:(1)建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 (2)建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 (3)利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 (4)利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为:ode45。 语法为:[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0) 2 问题的分析 人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如据人国国家统计局1990年10月30日归表的公报。1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的平均年增长率为14.8‰ 。如果今后的年增长率保持这个数字,那么容易算出，1年后我国人口为11.6×(1+0.0148)=11.77(亿)， 10,10年后即2000年将为11.6×(1+0.0148)13.44(亿)。这种算法用式子表示也十分简单。记人口为,k年后人口为,年增长率r，则预报公式为 xx0k k (1) xxr,，1，，k0 显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变。这个条件在什么情况下才能成立，如果不成立又该怎公办。历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。 早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，指数增长模型和Logistic模型事其中最简单的两种模型。 3 模型一 2 数学建模 3(1 模型假设: (1)假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率 (2)假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响 (3)假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计 (4)人口的净增长率(即出生率减去死亡率)为常数 (5)时刻t的人口函数是连续可微的; 3. 2 名词解释与符号说明 t 表示年份(选定初始年份的t=0) r 表示人口增长率 x 表示人口数量 3. 3 模型的建立及求解 记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工