数学建模之洗盘子模型.docVIP

洗盘子模型 摘要 本文针对一盆固定容积的水可以在一定的温度下洗多少个盘子建立数学模型求解。结合盘子、水、空气这三个因素建立出针对一般情况下的数学模型，然后将题目中的数据带入模型最终求解出所洗盘子的个数。 利用能量转换与守恒定理求解出热水在空气中的对流热能损失，根据水的开始温度与最终温度的变化情况并结合空气中的温度变化情况建立微分方程（8.1与8.2），但是该方程的求解中，盘子的个数是离散的，具该问题有离散性，最终用离散函数求解出在在。 关键词： 能量转换与守恒 离散函数 一、提出问题 洗盘子模型饭后总有一大堆油腻的盘子需要清洗，为洗这些盘子，你准备了一大盘热的肥皂水，热水的温度是能够洗掉盘子上的的油腻而不烫手。随着洗涤过程的继续，盆中的水逐渐冷下来，一直到无法再洗这些盘子，假设每个盘的重量为0.5KG，盆水水重15KG，盆内初始温度为60摄氏度，最终无法洗涤的温度是40摄氏度，盆内水的表面积是0.1平方米，空气的温度是20摄氏度，试建模分析使用这盆热水可以洗多少盘子？ 二、问题假设 1）假设每洗一只盘子，将其放入水中后，通过时间△t均可以清洗完毕，取出晾干 2）假设每个盘子的初始温度均为气温(即空气的温度保持不变） 3）假设盆子不参与任何热交换，人的手不参加热交换（即不影响水温） 4）假设盆中的水量不变； 5）假设洗涤净的洗涤效果与油腻程度无关。 三、定义参数变量及已知条件说明 1)盘子的个数为n 2)单个盘子的质量为=0.5㎏（已知）; 3）空气温度Ti=20℃（已知）； 4）水的温度此类符号重新编辑； 此类符号重新编辑 5）水的初始温度=60℃ 6)水的最终温度≦40℃； 7）水的质量=15㎏； 8）水的表面积A=0.1㎡; 9)水与空气的热交换系数h; 10)盘子的比热容； 11）水的比热容； 四、模型的构建与求解 利用能量转换与守恒定律，当质量为m的物体所含的热量为Q=CMT,（其中C是构成物质材料的特性参数，T是物体热力学温度）。可以得到在一个时段的水温，是对流能量与辐射热量，则可以建立以下模型： 网上引用的东西重新编辑与文章主体风格相差太远。 （8.1）若不考虑盘子，仅考虑水的自然冷却，则有关的模型如下： 辐射热能损失率 （8.2） 网上引用的东西重新编辑与文章主体风格相差太远。 式中:是史蒂芬—波尔兹曼系数，是有效表面辐射率的量度（黑体的而水的）。 若将看成连续变量，则对于水的自然冷却，由方程（8.1）和（8.2）得到微分方程 式中：t是从初始状态t=0开始计时的时间，可以解得。 若用离散函数来描述表示从初始状态开始计的时段的数目。这样转换为差分方程 也可以写出不同的形式。 显然，就这个问题而言，本身就具有“离散性”，需逐个洗盘子，每个盘子花费一段时间，因此，最好选择离散化的描述形式。 若将洗盘子的过程想象为把一只盘子浸入水中，使其温度从瞬间增至，那么对于中的其余时间，可以不必考虑水向盘子的热转换，以简化模型。 五、模型求解 对于上式求解的难点在于辐射和对流损耗中含有项。关于数的数量级比较，我们对辐射和对流热损失的数值进行数量级比较。用前面所给数据，计算得 辐射热损失大约是对流损失的，忽越项不失合理性。 把代入方程，整理得 。 代入数据并令（得 即 它的解为 式中：，解得,最后的数学模型是 令解出n的值，令 根据以上的分析与求解得出可以洗的盘子个数为117个。 五模型的评价 该模型只是考虑能量守恒与能量转换，若（1）每次同时放一个以上的盘子，但是每次只取出一个盘子时，该问题又将怎样求解，若每次洗盘子时所要的能量相同又会怎样求解，这是该模型缺少的，可以在模型的基础上改善，使得该模型更加完善。 六附录 [ 1]赫孝良，戴永红，周义仓.数学建模竞赛赛题简析与论文点评[M].西安：西安 交通大学出版社，2002. [2]费培之，数学模型实用教程，成都：四川大学出版社，2005。 [3]徐全智，杨晋浩，数学建模（