分数维拉普拉斯方程解的径向对称性和正则性-基础数学专业论文.docxVIP

PAGE PAGE IV Abstract In this thesis, we discuss the radial symmetry for positive solutions of a Schr¨odinger type system with the fractional Laplacian. And we study the regularity of nonlinear equations for fractional Laplacian. This thesis is divided into three chapters. In chapter 1, we introduce the background of the problem and main results of the thesis. Chapter 2 is concerned the radial symmetry of positive solutions for the following Schr¨odinger type system with the fractional Laplacian { (??)αu + u = vq , x ∈ RN , (??)αv + v = up, x ∈ RN , where 0 α 1, p, q 1, N ≥ 2. We are able to establish the radial symmetric theorem for those positive solutions by means of the moving plane method. In chapter 3, we investigate the regularity of the nonlinear equation for fractional Laplacian { (??)su = f (u), x ∈ ?, u = 0, x ∈ ??, where ? ? RN , N ≥ 2, is a smooth bounded domain, 0 s 1. We prove that any Hs(?) solution u of problem belongs to L∞(?) for the nonlinearity of f (t) being subcritical and critical. This implies that the solution u is classical if f (t) is C1,γ for some 0 γ 1. Keywords: Fractional Laplacian; Schr¨odinger type system; Moving plane; Regularity; L∞ bounds. III PAGE PAGE IV 目 录 中 文 摘 要 I 英 文 摘 要 III 第 一 章 引 言 1 1.1 本 文 的 研 究 背 景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 本 文 主 要 结 果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 第 二 章 分 数 维 拉 普 拉 斯Schr¨odinger型 方 程 组 正 解 的 径 向 对 称 性 11 2.1 K的 性 质 11 2.2 定 理1.2.1的 证 明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 第 三 章 分 数 维 拉 普 拉 斯 非 线 性 方 程 解 的 正 则 性 17 参 考 文 献 25 致 谢 27 硕 士 期 间 研 究 成 果 29 PAGE PAGE VI PAGE PAGE 11 第 一 章 引 言 本 章 主 要 介 绍 与 本 文 所 研 究 问 题 有 关 的 背 景 知 识 、发 展 状 况 以 及 我 们 的 主 要 工 作。 §1.1 本 文 的 研 究 背 景 随 着 物 理 、生 物 等 学 科 的 迅 猛 发 展, 产 生 了 大 量 的 二 阶 非 线 性 椭 圆 型 偏 微 分 方 程 和 方 程 组. 许 多 物 理 现 象 和 几 何 问 题 都 可 以 用 一 个 或 一 组 非 线 性 椭 圆 型 偏 微 分 方 程 来 描 述. 例 如,