带有时滞的Chemostat模型的解析解与数值解的Hopf分支-数学专业论文.docxVIP

Classified Index: O241. 8 U.D.C.: 519. 09 Dissertation for the Master Degree in Science ANALYTIC AND NUMERICAL HOPF BIFURCATION FOR A RETARDED CHEMOSTAT MODEL Candidate: Shu Hongying Supervisor: Professor Liu Mingzhu Academic Degree Applied for: Master of Science Specialty: Computational Mathematics Affiliation: Department of Mathematics Date of Defence: July, 2007 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 – – I – 摘 要 时滞微分方程分支现象广泛存在于自然界中，例如物理、工程、生物学、 医学及经济等领域。分支现象发生在依赖于参数的系统。与系统的平衡状态 及周期解相关的分支称为Hopf分支。对系统Hopf分支的研究包括分支参数值、 分支方向、分支周期解的稳定性等内容。 本文主要考虑了以时滞为参数的Chemostat模型的Hopf分支，研究了其分 支参数值、分支方向、分支周期解的稳定性;并将Euler方法应用于该方程，研 究了当参数变化时数值Hopf分支的性质。本文的主要工作如下: 首 先 研 究 了 时 滞Chemostat模 型 的 内 部 平 衡 点E3的Hopf分 支 存 在 性，并 给出了其Hopf分支的分支值τ ?。利用了Euler方法研究了Chemostat模型以时滞 量τ (τ 0)为参数时的数值Hopf分支，证明了当步长充分小时，数值Hopf分支 的存在性。 其次研究了Chemostat模型的Hopf分支的分支方向和分支稳定性，给出了 决定分支周期解的稳定性及分支方向的参数。 最 后 利 用Euler方 法 研 究 了Chemostat模 型 以 时 滞 量τ (τ 0)为 参 数 时 的 数 值Hopf分 支 的 分 支 方 向 和 分 支 稳 定 性。证 明 了 数 值Hopf分 支 值 满 足τh = τ ? + O(h)，且当步长h趋近于零时，Euler方法得到的差分系统的分支周期解与 原系统的分支周期解有相同的分支方向和稳定性。 关键词 时滞微分方程;Hopf分支;Euler 方法 – – II – Abstract Delay differential equations arise widely in the fields of Physics, Engineering, Biology, Medical Science, Economics and so on. The bifurcation phenomena can occur in the parameter dependent systems. The type of bifurcation that connects equi- libria with periodic solution is called Hopf bifurcation. The study of Hopf bifurcation includes determining the bifurcation value, the direction of bifurcation and the stabil- ity of bifurcating periodic solution. This paper deals with the Hopf bifurcation of a Chemostat model when delay is taken as the parameters, including bifurcation parameter value, bifurcation direction and the stability of bifurcating periodic solution. And applied the Euler method to this equation, the properties of the numerical Hopf bifurcation are investigated as the delay varies. The main work of the paper is summarized as follows: