带形无界域上依赖时间的具有Dirichlet边界条件的薛定谔方程的有限元方法-计算数学专业论文.docxVIP

I I 摘 要 本文研究了一种带形无界域上依赖时间的具有 Dirichlet 边界条件的薛定诗方程的有 限元方法。首先，我们通过引入人工边界并给出恰当的边界条件，将原无界域上的初边值 问题转化为一个有界域上的初边值问题，然后对该简化后的问题分别在时间和空间上利用 Crank-Nicolson 格式和双线性或二次有限元逼近进行完全离散。经过严格的理论分析，证明 了我们所构造的全离散格式是无条件稳定和收敛的，同时得到了它的收敛阶。最后，给出一 个数值算例，说明我们的方法是有效的。 关键字: 薛定诗方程;有限元方法;人工边界条件;Dirichlet 边界条件。 I II Abstract This thesis addresses the finite element method for the time-dependent Schr¨odinger equation with Dirichlet boundary condition in an unbounded strip. We first reduce the orig- inal problem into an initial-boundary value problem in a bounded domain by introducing a transparent boundary condition, then fully discretize this reduced problem by applying Crank-Nicolson scheme in time and bilinear or quadratic finite element approximation in space. This scheme, by a rigorous analysis,has been proved to be unconditionally stable and convergent, its convergence order has also been obtained. Finally, we give a numerical example to verify the accuracy of the scheme. Key words: schr¨odinger equation; finite element method; artificial boundary condi- tion; Dirichlet boundary condition. I III 目 录 第一章 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 第二章 全离散有限元格式的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 第三章 全离散有限元格式的分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 第四章 数值算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 结论与展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 PAGE PAGE 10 第一章 引言 本文考虑如下的二维长带形无界域上依赖于时间变量的薛定诗方程的初边值问题: ?ψ(x, y, t) i 1 E ?2ψ(x, y, t) = ? ?2ψ(x, y, t) 』 +  + V (x, y, t)ψ(x, y, t), (1.1) ?t 2 ?x2 ?y2 x ∈ R, 0 y b, 0 t ≤ T, ψ(x,