复合Poisson单的几点研究-应用数学专业论文.docxVIP

PAGE PAGE 10 第一章 | 司 第一节 应用背景和研究现状 法国数学及物理学家 Simen 在 1837 年出版的《司法概率的研究)(Lehrbuch sur la Probalite des Jugements)中, 从二项分布的极限得到了这个日后以他为名 的 Poisson 分布. 王梓坤 [1], 林元烈 [2], Koopman, B.O.[3], Dasgupta, R. [4] 等给出了 Poisson 分布、Poisson 过程、非时齐 Poisson 过程和条件 Poisson 过程的定义和它们的 概率函数、期望、方差、特征函数等数字特征, 研究了它们的可加性、独立增量 性等性质和定理, 及其在不同方面的应用. 陈飞跃 [5], 段会、赵珍和康殿统 [6], Serfozo R.F. [7], A.D.Barbour、Louis H.Y 和 Wei Liem Loh [8], Wang, Y.H. [9][12], S.K.Bar-Lev、P.Enis [10], C?ekanavic?ius [11], Michael Weba [13], S.zacks [14][15] 等给出了复合 Poisson 分布的定义, 研究 了它的可加性, 给出了复合 Poisson 过程中的到达时刻的条件分布, 得到了复合 Poisson 过程中的收敛定理及其转移函数和特征函数, 讨论了复合 Poisson 过程 的应用, 使复合 Poisson 分布和复合 Poisson 过程的理论比较完善. 1991 年, 李应求 [17] 给出了 Poisson 单的定义, 讨论了它的基本性质、刻划 及其在射线上导出的过程. 1992 年, 王桂兰、杨向群 [21] 用扩大状态空间的方法 得到了两参数 Poisson 过程, 即 Poisson 单的存在定理, 同时指出了 Poisson 随机 测度和 Poisson 单的等价定义. 1994 年和 1995 年, 杨向群、郭学鹏 [24][25][26] 研究 了两参数广义 Poisson 单, 得到了它的基本性质、局部鞍性和各种两参数 Markov 性, 研究了它的跳线和样本函数, 对跳线和样本函数作了形象、明确和深刻的刻 划. 随后, 赵见周和贺兴时 [27], 研究了两参数 Poisson 单的鞍刻划并讨论了它的 强马氏性, 给出了一个两参数过程是 Poisson 单的充要条件. 刘韶跃 [28] 、胡春华 和杨向群 [29] 证明了多个独立的广义 Poisson 单叠加后仍然是广义 Poisson 单, 给 出了随机选择的严格定义, 并研究了广义 Poisson 单的随机选择和分解. 总之, 他 们给出了 Poisson 单和广义 Poisson 单的定义，给出了 Poisson 单和广义 Poisson 单的基本性质, 研究了 Poisson 单和广义 Poisson 单的马尔科夫性、样本函数的 结构、轨道、鞍刻划、跳线等, 并且给出了一个两参数过程是 Poisson 单的充要 条件及讨论了它的叠加性. 目前, 许多学者曾对 Poisson 分布、Poisson 过程、复合 Poisson 过程、Poisson 单和广义 Poisson 单进行研究, 却没有人对复合 Poisson 单进行研究. 但是复合 Poisson 单在物理学、工程技术学、经济学、金融学等众多领域都具有十分重要 的应用, 许多实际问题的理论也都归结到复合 Poisson 单的问题上. 因此, 对复 合 Poisson 单的研究有特别重要的理论和现实意义. 第二节 本文的工作 第三章第一节, 定义了复合 Poisson 单. 第三章第二节, 利用独立增量性和 Poisson 单的性质, 得到了复合 Poisson 单 的概率、数学期望、方差、特征函数、矩母函数等数字特征, 并且得到复合 Poisson 单具有矩形增量、单调性和复合 Poisson 单的鞍刻划. 由于复合 Poisson 单是零 初值随机连续的, 因此它是 Levy 单. 由复合 Poisson 单的定义和矩形增量, 可知 复合 Poisson 单是两参数随机事件流. 又由独立增量性, 知复合 Poisson 单为无 后效流. 再推知复合 Poisson 单具有一系列其它性质. 第三章第三节, 因为复合 Poisson 单是 Levy 单, 所以它具有 * 马氏性、宽过 去马氏性、i 马氏性 (i = 1, 2)、宽将来马氏性、单点马氏性和强芽马氏性. 由于 复合 Poisson 单具有矩形增量, 因此复合 Poisson 单是 A 过程. 利用独立增量性 和矩形增量性, 得到它的单点转移函数族. 第三章第四节, 根