分数阶积分方程与微分方程初值问题的解-数学、应用数学专业论文.docxVIP

曲阜 曲阜师范大学硕士学位论文 万方数据 万方数据 分数阶积分方程与微分方程初值问题的解 摘 要 分数阶微分方程和分数阶积分方程可以用来描述系统和过程的数学模 型. 近几十年来发展迅速，大量的研究成果涌现，涉及物理学、化学、空气动 力学等多方面. 关于微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题, 更是得 到了众多学者的关注. 本文共分为三章: 在第一章中, 研究了下面的分数阶微分方程的初值问题： ???(?) = ? (?, ?(?), ???(?), ?? ?(?)), ? ∈ (0, 1], (1.1.1) ?(?)(0) = ??, ? = 0, ..., ? ? 1. (1.1.2) 其中 ? ? ?, ? ∈ (? ? 1, ?), ? ∈ ? . ? : [0, 1] × ? × ? × ? ?→ ? 是连续可 微函数, ??? 表示函数 ? 的 ? 阶 Caputo 导数. 研究解的存在性利用了 Leray-Schauder 非线性替换原理, 根据 Banach 压 缩映射原理获得了解的唯一性结论. Caputo 分数阶导数和 Riemann-Liouville 分数阶积分之间的关系在研究过程中起了重要作用. 最后给出了一个具体的 例子来说明结论. 在第二章中, 研究了下面形式的分数阶积分方程的 Hyers-Ulam-Rassias 稳 定性和 Hyers-Ulam 稳定性： ?0+?(?) = ?? ?0+ (? ?, ?(?), ∫? ? ?0 )? ?(?, ?)?(?)??  (2.1.1) 1 = Γ(?) ∫? ? ?0  (? ? ?)??1? (? ?, ?(?), ∫? ? ?0 )? ?(?, ? )?(? )??  ??, ? ∈ [?1, ?2], i 其中 ? ∈ (0, 1), ?0 ∈ (?1, ?2). 研究方程解的存在性与唯一性问题, 利用 Banach 不动点定理和广义度 量空间上不动点定理. 在第三章中, 通过对一系列二次积分方程的变量作改进, 讨论了下列分 数阶积分方程解的存在性问题： ?(?) = (? ?)(?) ∫? ?  ? (?, ?(?))  ?? + ?(?, ?(?)) ∫? ? ?(?, ?)(??)(?)  ??, ? ∈ ? = [0, 1], Γ(?) 0 (? ? ?)1?? Γ(?) 0 (? ? ?)1??  (3.1.1) 其中 0 ?, ? 1. 函数 ? : ? × ? ?→ ?, ? : ? × ? ?→ ?+, ? : ? × ? ?→ ? 是 连续函数, 算子 ? : ?(?) ?→ ?(?) 和 ? : ?(?) ?→ ?(?) 是连续的. 研究解的 存在性问题利用了 Darbo 不动点定理和非紧性测度的有关知识, 最后给出了 一个具体的例子来说明结论. 关键词: Caputo 分数阶导数; Riemann-Liouville 分数阶积分; Leray- Schauder 非线性替换原理; Hyers-Ulam-Rassias 稳定性; Darbo 不动点定 理. ii Abstract Fractional differential and integral equations can describe the mathematical modeling of systems and processes. In recent years, a number of works have appeared, especially in the fields of physics, chemistry, aerodynamics, etc. Espe- cially, much attention has been paid to the existence and uniqueness of solutions of the fractional differential and integral equations. The thesis is divided into three chapters according to contents. In Chapter 1, we consider the following initial value problems for fractional differential equations ???(?) = ? (?, ?(?), ???(?), ?? ?(?)), ? ∈ (0, 1], (1.1.1) ?(?)(0) = ?? , ? = 0, ..., ? ? 1. (1.1.2) where ? ?