分数阶积分和微分方程解的存在性-数学、应用数学专业论文.docxVIP

曲阜 曲阜师范大学硕士学位论文 万方数据 万方数据 分数阶积分和微分方程解的存在性 摘 要 近年来, 分数阶微积分在科学工程领域的广泛应用引起了人们很大的兴 趣. 在物理学、生物工程、数学科学等领域, 分数阶微积分是有用的数学工具. 分数阶微积分是整数阶微积分的延伸与拓展, 是一个研究任意阶次(实数阶次 或复数阶次)的微分、积分算子特性及其应用的数学问题的理论, 其发展几乎 与整数阶微积分同步, 具有广泛的理论应用和研究价值. 分数阶微分方程受到 了人们广泛的关注和研究, 这与分数阶微分方程自身深入的理论发展和其在 各个领域的应用是密不可分的. 正是基于分数阶微积分方程的研究引起了国内外许多数学工作者的广 泛关注并逐渐成为一个热点问题. 本文主要研究了分数阶微分方程解的存在 性和唯一性, 给出了一些新的存在性定理, 并用例子验证了所得的主要结果. 本论文主要利用了 Banach 不动点理论、上解和下解的方法和单调迭代 方法, 研究了分数阶微分方程解的存在性和唯一性. 本文共分为三章: 在第一章中, 应用加权范数形式的 Banach 不动点定理和单调迭代方法, 证明了下列涉及到 R-L 微分的 Volterra 型分数阶微分方程解的存在性. ? ??? ? ?  ?(?) = ? (? ?, ?(?), ∫? ? 0  ? (?, ?)?(?)??, ∫? ? 0 )? ?(?, ?)?(?)??  ≡ ? ?(?),  (1.1.1) ?? ??(0) = ?, 其中, 当 ? ∈ ?(? × R × R, R), ? = [0, ? ], ?? (0) = ?1?? ?(?)|?=0, ?? 是关于 ? 的 ? 阶 R-L 分数阶微分且 ? ∈ (0, 1). i 在第二章中, 应用单调迭代方法和上解、下解的方法, 证明了下列分数阶 混合微分方程的解的存在性和唯一性. ? ? [? ? ?(?) ??? ? ? (?, ?(?)) ? ? [? ?(?) ]? = ?(?, ?(?)), ]??  (2.1.1) ?? ?1?? ? ?  ? (?, ?(?)) ? ? ??=0 = ?0, 其中, 当 ? ∈ ?(? * R, R?0) 且 ? ∈ ?(? * R, R).. 在第三章中, 应用单调迭代方法和上解、下解的方法, 证明了下列分数阶 微分方程的解的存在性 ? ?? ??  ???(?) = ? (?, ?(?), ?(?(?)), ?(0) = 0,  (3.1.1) 其中, 当 ?? 是 ? 阶分数阶微分且 ? : [0, 1] × R × R ?→ R 是连续函数, 则初 值问题 (3.1.1) 等价于下面的 Volterra 型分数阶积分方程 ?(?) =  1 Γ(?) ∫? ? 0  (? ? ?)??1? (?, ?(?), ?(?(?)).. (3.1.2) 关键词: Riemann-Liouville 分数阶导数; 分数阶微分方程; 解存在性和 唯一性; 单调迭代方法; ii Abstract In recent years, the fractional order calculus is widely used in the field of science and engineering has attracted great interest. In areas such as physics, biological engineering, mathematical sciences, fractional order calculus is a useful mathematical tool.Fractional order calculus is the extension and expansion of integer order differential and integral calculus, is a research of arbitrary order time (real time or the plural order) differential, integral operator characteristics and the applications of the theory of mathematical problems. Its development is almost synchronization with integer order differential and integral calculus, with the extensive theory applicatio