狄里克莱级数的增长性与正规增长性-基础数学专业论文.docxVIP

新疆师范大学硕士学位论文 新疆师范大学硕士学位论文 第 第 PAGE 17 页 文献综述 Dirichlet 级数 ∞ ?λ ?λn s n=0 ane （1.1）是十九世纪中叶 L.Dirichlet 为了研 ∞ 究数论时引进的。事实上，刚开始引进的是 ∑ an （即级数（1.1）在  λ n = ln n sn=1 n s 的情形），此级数在解析数论中有重要的应用。当 λ n  = n,  e? s = Z 时，级数（1.1） 就变成了 Taylor 级数，因此 Dirichlet 级数可以看成是 Taylor 级数的推 广，从而可以研究它与 Taylor 级数许多相应的性质；同时 Dirichlet 级数 ?+∞ ? ∫ 也可以看作是拉普拉斯—斯缔尔杰斯变换 0 e λs d (α (λ ))的一个特例。 对于 Dirichlet 级数的研究，一方面是为了解决数论中提出的问题， 另一方面是为了了解这种级数本身的许多分析性质，在后者中的研究中主 要是由四部分组成：收敛性、自然边界（以及奇异点的分布）、增长性和值 分布。关于增长性不仅是 Dirichlet 级数的一种重要性质，而且也是研究 值分布理论的基础。对于级数的系数及指数与增长性之间的关系，在国内 外曾经有大量研究工作。近年来，在国内，余家荣教授、孙道椿教授、田 范基教授等许多专家和学者已作了过大量地研究工作，并且得到了许多新 的研究成果,不断完善着 Dirichlet 级数理论。 1. Dirichlet 级数增长性的研究概述 1.1 右半平面上有限及无限 Dirichlet 级数增长性的研究： 为了了解右半平面级数增长性的研究，下面首先介绍一些相关定义和结果： Dirichlet 级数的一般形式： f (s) = +∞ ∑ n=0  a e?λn s a e  （ 1.1 ） （其中 {an }  为一复数列 ，  s = σ + it,σ , t  为实变 量， λ 0 λ 1 λ n 0 = . ↑ +∞ ） ______ ln n  +___ ___ ln a + λ若级数（1.1）满足条件： lim λ n →+∞ n = 0 （1.2）， lim →+ ∞ n = 0 （1.3） λ n n 则由文献[1]中级数横坐标收敛的 Valiron（瓦里隆）公式知： 级数（1.1）的收敛横坐标，一致收敛横坐标和绝对收敛横坐标均为零，于是级数（1.1）收敛的和 函数 f (s) 在右半平面上解析。 定义 1.1 定义在右半平面的最大模与最大项分别是： M (σ ) = M (σ , f ) = sup{ f (σ + it ) , ?∞ t +∞} ，（且σ 0 ） ( ) ( , ) max { ?λnσ , } m σ = m σ f = an e n ∈ N+ ，（且σ 0 ） 定义 1.2 f (s) 在右半平面的增长级定义为： ______ ln + ln + M (σ ) ρ ′ = lim 0  ? ln σ （1.4）当 ρ′ = 0, 0 ρ′ +∞, ρ′ = +∞ ，时，级数（1.1）分别称为 σ →+ 零级，有限级、无限级 Dirichlet 级数。 利用文献[2]中余家荣教授定义的型函数U (r ) ，（ r = 1 ，其中σ 0 ）关于有限级 Dirichlet σ 级数，1978 年余家荣教授得到了如下结果： 定理 1.1 设有 ρ′ 级 Dirichlet 级数（1.1） f (s) = +∞ ∑ n=0  ?λn sane 满足于（1.2）及（ ?λn s ln M (σ , f )  W (λ  )ln a  1+ ρ′ 1 则有： lim = τ ? lim n n = τ 1+ ρ ′ σ →+0 U (r ) n→+∞ λn ρ ′ ρ′1+ ρ ′ 其中 0 τ +∞ ， r = W (t ) 与 t = rU (r ) 互为反函数。 定理 1.2 设有 ρ′ 级 Dirichlet 级数 （ 1.1 ）满足于（ 1.2 ）及（ 1.3 ）式，则 有 ： ln M (σ , f ) ______ W (λ ) ln a 1 + ρ ′ 1 lim = τ ? (i)lim n n = τ 1+ ρ ′ →+0 U (r ) n→ +∞ λn ρ ′ ρ ′1+ ρ ′ （ii）且存在一个递增的正数列，使得： __ __ __ W (λ  ) ln a  1 + ′ ， λ nnν +1 n n  = 1， λ1=n n ρ τ ′ λ 1 = lim