弹性力学中微分方程的小波解法-应用数学专业论文.docxVIP

西安建筑科技大学硕士论文 西安建筑科技大学硕士论文 西安建筑科技大学硕士论文 西安建筑科技大学硕士论文 PAGE PAGE 6 PAGE PAGE 3 家 A.Gro部man 采用平移和伸缩不变性建立了小披变换的理论体系 1986 年法国数 学家Y.Meyer 第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波 . 1988 年，比利时数学家 I.Daubechies 证明了紧支撑正交标准小波基的存在性 I2|，使得离散小披分析成为可能- 1989 年 S.Mallat 提出了多分辨分析概念[匀，统一了在此之前的各种构造小披的方法， 特别是提出了二进小波变换的快速算法 ，使得小波变换走向实用性，小波分析开始蓬 勃发展.目前小波分析的应用领域十分广泛，特别是在信号与图像处理、模式识别、 语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、 CT成像、机器视觉、机械状态 监控与故障诊断、数据处理、神经网络等领域都得到了广泛而深入的研究与应用 [41 小波分析作为傅立叶分析的发展，既保留了傅立叶分析的优点，又弥补了傅立叶 分析的不足 . 小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时 间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率 和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以 被誉为数学显微镜 [51 正是这种特性，使小披变换具有对信号的自适应性. 现在，小波分析在各领域的应用可以说是日新月异，在许多领域已经取得了较好 的成果，但是小披分析理论的不完善仍然是当今小波分析研究和应用中的一大障碍. 首先， 一维小披的理论发展比较成熟，但高维小披、向量小波的理论远非人们所期待 的那样，特别是各类小被如正交小波、双正交小波、向量小波、离散小波的构造和性 质研究仍然有很多不足之处，其中小披基的构造仍然是 一个重点和难点其次，最优 小波基的选择方法仍是一个研究的重点和热点.另外，小波分析在数值分析、微分方 程求解等方面已经取得了较好的成果，但是对偏微分方程，尤其像弹性力学中的微分 方程还有很大的发展空间和很好的发展前景. 1.1.2 连续小波变换 小波，即小区域的披 ，是一种特殊的长度有限，平均值为 0 的波形. 定义1.1 若 ψ(x) ε L2 (R)满足 f+∞ ψ(ωw J_∞ |ω|| 一一一 ω 盹 J_∞ |ω| 非一 则称 ψ 是一个基小被或小搜母函数，式(1.3) 称为小波函数的容许性条件. 由小波的定义，可知其有两个特点 . 一是小，即在时域都具有紧支集或近似紧支集.虽然从原则上讲，任何满足容 许性条件的 L2 (R) 空间的函数都可作为小波母函数，但在一般情况下，我们常选取紧 支集或近似紧文集{具有时域的局部性)且具有正则性{具有频域的局部性 )的实数 或复数函数作为小波母函数，这样的小波母函数在时频域都 会具有较好的局部特性. 二是正负交替的波动性，也即直流分量为零 .我们把小波和构成傅立叶分析基 础的正弦波做一个比较.傅立叶分析所用的正弦披在时间上没有限制，从负无穷到正 无穷，但小波倾向于不规则与不对称.傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的 正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解成 一系列小波函数的叠加，而这些小波函 数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的根据直觉，用不规则的小波函 数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好 ，同样，信号局部的特性用小 披函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好. 将小波母函数 ψ 作伸缩 α，平移 b 可得一族函数 向(x) = Iα|斗/2ψ( 于) 若 f(x) ε L2(R)，则 f(x) 的连续小波变换 (CWT) 定义为 [6[ : r+∞ IX -tJ飞  (1叫 Wltf(α，b) = (1，如)= Iα尸rl _L∞ f(x)ψ( 丁..:)dx. (1.5) 小披函数若满足容许性条件(1.3)，则其逆变换存在根据小波变换的系数可以精 确地重构原信号，其重构公式为: r+∞ r +∞ dαf(x) = _.: l l W，pf(a. b)1，!a. r+∞ r +∞ dα GT J -∞ J- ∞矿 小波变换的优势在于其有可变的时频窗，可以根据需要自适应地调整时频窗口， 从而达到一定的时频分辨率. 小波变换的时频分辨率依赖于小波 !J，o.b 的时频窗宽度.假定 ￠集中在原点附近， 则 ψω 集中在 x=b 附近令 σr = (f :lxψ(x)i2dx)叭通过变量替换 υ= 宁可得 知，b 的窗口半径为 (r:(x - WI如何Wdx)1/2 = Iα|σ 因此，连续小披白，b 的时窗为 [b - lalCíx