带形无界域上具有Neumann边界条件的薛定谔方程的有限元方法-计算数学专业论文.docxVIP

I I 摘 要 本文对一类带形无界域上具有 Neumann 边界条件的薛定号方程的有限元方法进行了 研究. 我们首先通过引入人工边界条件, 把原无界域上的初边值问题转化为一个有界域上的 初边值问题, 然后对该问题在时间上应用 Crank-Nicolson 差分格式进行离散, 在空间上用线 性或二次有限元方法进行逼近. 经过严格的理论分析, 证明了我们所构造的全离散格式是无 条件稳定和收敛的, 并得到了其收敛阶. 最后, 给出了一个数值算例, 说明我们的方法是有 效的. 关键字: 薛定号方程; 有限元方法; 人工边界条件; Neumann 边界条件. I II Abstract This thesis mainly discusses the finite element method for Schr¨odinger equation with Neumann boundary condition in an unbounded strip. First, we reduce the original prob- lem into an initial-boundary value problem in a bounded domain by introducing an artificial boundary condition, and then fully discrete this problem by applying Crank-Nicolson scheme in time and linear or quadratic finite element approximation in space. By a rigorous analysis, this scheme has been proved to be unconditionally stable and convergent, and its convergence order has also been obtained. Finally, we give a numerical example to verify the accuracy of the scheme. Key words: Schr¨odinger equation; finite element method; artificial boundary condi- tion; Neumann boundary condition. I III 目 录 第一章 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 第二章 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第三章 全离散有限元格式的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第四章 全离散有限元格式的分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 第五章 数值算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 结论和展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 PAGE PAGE 10 第一章 引言 本文考虑如下的带形无界域上具有 Neumann 边界条件的薛定号方程的初边值问题: ?ψ(x, y, t) i 1 E ?2ψ(x, y, t) = ? ?2ψ(x, y, t