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* 因式分解(复习) (l)结果一定是积的形式; (2)每个因式必须是整式; (3)各因式要分解到不能再分解为止. 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解, 知识点一:因式分解定义 分解因式几个特点 即:一个多项式 →几个整式的积 是互逆的关系.一定是恒等变形 分解因式与多项式乘法关系 下列变形是否是因式分解?为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2; (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 提公因式错误,可以用整式乘法检验其真伪. 不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等. 是整式乘法. 练习 知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如:x2 – x = x(x-1), 8a2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) x 2a 如何提公因式法 多项式各项都含有的相同因式 定系数 定字母 定指数 系数的最大公约数 各项中都有的相同的字母。 字母的最低次幂。 公因式: 确定公因式的方法 提公因式法: 如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来,从而转化为几个因式乘积的形式 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a) 解:(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy). (2)3x(a-b)+2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y) x3 + (b-a) - (a-b) (a-b) 练习:用提公因式法分解因式 4p(1-q)3+2(q-1)2 (2)a-b 与 -a+b 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数) (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数) (1) a+b与b+a 互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数) (3)a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数) (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数) 小结 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项 要合并,而且每个括号内不能再分解. 如:(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n). (2)如果出现像(2)小题需统一时,首先 统一,尽可能使统一的个数少,这时注意到 (a-b)n=(b-a)n(n为偶数) 例如:分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2. 本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x) 统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便,因为(x-y)2=(y-x)2. a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c). (3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成 幂的形式. 例如:(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2. (2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式. 例如:4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2. 知识点3:公式法 (1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b). 例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 探究交流 下列变形是否正确?为什么? (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y); (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2; (3)x2-2x-1=(x-1)2. 目前在有理数范围内不能再分解. 不是完全平方式,不能进行分解 不是完全平方式,不能进行分解 例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ;
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