变分法在几类非线性微分方程上的应用-基础数学专业论文.docx

优秀毕业论文 精品参考文献资料 后面给出两个例子用来说明本文中的假设确实比 (A-R) 条件更一般.本文是对先 前一些文献的主要结果的改进和扩张. {:…叫 {:…叫 2) U = f(x ，u) 在 Q 上 Jn (0.0.3) u= 。在δQ 上. 这里。是 Rn (n=1，2，3) 中的平滑有界域， α，b 0，f(x ，u): 百 xR 是一个连续的泛 函.利用局部环绕定理，得出基尔霍夫问题的非平凡解的存在性. 关键词脉冲微分方程; Cerami 条件:临界点:山路定理;基尔霍夫型; 局部环绕;特征值. 11 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章绪论 ..， 1 1.1引言.. 91.2 脉冲微分方程的研究 2 31.3 基尔霍夫问题的研究 3 第二章 通过变分方法求解脉冲微分方程边值问题的新方法 ...4 92.1 引言.. 32.2 预备知识 32.3 (2.1.6) 的解的存在性 15 92.4问题 (2.1.1) 的解的存在性 22 第三章 局部环绕下的基尔霍夫问题解的存在性 27 引言- 预备知识 !ì3.3 解的存在性 30 参考文献 36 攻读硕士学位期间完成的主要学术论文 39 致谢 .40 III PAGE PAGE 1 第一章绪论 1.1 引言 随着科学技术的不断发展，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、 工程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题，这些非线性问题日益 引起了人们的广泛重视.而非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理 论工具.现今大体上公认的几个方面，如变分学及变分方法的成就从泛函分析开 始成为学科就起着作用;拓扑学方法及其成就，不动点及拓扑度理论乃至解析方 法，大致也是如此 变分法是解决非线性问题的一个重要分支，它是把微分方程边值问题化为变 分问题，以证明解的存在性，解的个数及求近似解的方法.变分方法有着极为丰 富的源泉，从经典力学到到场论，其中所研究的一切物质的运动规律都遵从变分 原理，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的 Euler 方程，因此求这些 Euler 方程的解便化归为寻求对应泛函的临界点.非线性微分方程的解主要是通 过某个泛函 I(通常称为 Euler-Lagrange 泛函)在一个恰当的的 Banach 空间 X 上 I(u) = 。 的临界点也来刻画的，即满足 _这里 I(u) 是 C1 _ 泛函 I 在点 u 处的Fréchet 导数.于是，寻找泛函的临界点成 为解决问题的关键所在.迄今为止，经过许多数学家的长期努力的工作，逐渐形 成了一个解决非线性问题的数学分支一变分法. 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值及极值点，在一定的条件下，确定 泛函的极值嵌与确定微分方程边值问题的解这两个问题互相转化.也就是说，微 分方程边值问题常常可以化为变分问题来研究.因此变分方法就成为研究微分方 程边值问题的一种基本方法. 近 20 年来，近代变分方法得到了重大的发展，它主要包括临界点理论中的极 小极大原理和莫尔斯理论，并在解决拟线性椭圆方程边值问题中取得了许多有重 要意义的新结果. A.Ambrosetti 和 P.Rabinowitz 在 1973 年提出的山路引理可 以说是临界点理论的重要里程碑，随后的鞍点定理和环绕定理是对山路引理的进 一步推广.这些定理被广泛应用到寻求椭圆问题的非平凡解的存在性和多解性、 Hamiltonían 系统的周期轨道以及其他一些问题中.本文主要是应用山路引理和 局部环绕定理研究脉冲微分方程和基尔霍夫问题的非平凡解的存在性. 第一章绪论 1.2 脉冲微分方程的研究 考察以下脉冲微分方程 一 (lz(t)IP-2Z(t)) = g(t ，Z(t) ，Z(t)) ，t 手 ti，a.e.t E [0，T]， DZ(t i) = Ii(z(ti)) ，i= 1，2，…，l ， (1.2.1) z(O) = z(T) = O. 这里 p 三 2，0 = to h … tl tl+1 = T，L::，.U(ti) = IU(ti + 0)IP-2u(ti 十 0) -IU(ti - 0)[P-2U(ti 一 0) 不少研究者用不动点理论、拓扑度、比较法(上下解 方法和单调迭代法)研究此类脉冲微分方程，做出很大贡献.最近应用临界点和 变分法来研究脉冲微分方程受到广泛的关注，当非线性项没有导数存在时，问题 (1.2.1) 的解的存在性和多解性已经被证明过(部分结果可参见 [1]-[61). 最近，腾和张 [7] 在下面的条件下获得(1.2.1) 的解的存在性3 当 l?! 充分大 时， :3 T 当 TP 时有 TG(t ，