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1.8若干等式及其组合意义 组合意义或组合证明，含意强弱的不同。承认组合证明与其他证明有相同的“合法性”。 1.8若干等式及其组合意义 1. C(n,r)=C(n,n-r) (1.7.1) 从[1,n]去掉一个r子集，剩下一个(n-r)子集。由此建立C(n,r)与C(n,n-r)的一个一一对应。 故C(n,r)=C(n,n-r) 1.8若干等式及其组合意义 2. C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) (1.7.2) 从[1,n]取a1,a2,…,ar.设1≤a1＜a2＜…＜ar≤n,对取法分类：a1=1,有C(n-1,r-1)种方案 a11,有C(n-1,r-1)种方案 共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)中方案，故 C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 1.8若干等式及其组合意义 杨辉三角除了(0,0)点，都满足此递推式 0r≤n,n0r C(n,r)= 1, r = 0 0, 0≤nr,r0≤n n0且r0 C(m+n,m)=C(m+n-1,m)+C(m+n-1,m-1) {(0,0)→(m,n)} ={(0,0)→(m,n-1)}∪{(0,0)→(m-1,n)} (-1) ( ) |r|-1 |n|-1 n+r [n]r —— r! 1.8若干等式及其组合意义 3.( )+( )+( )+…+( )=( ) (1.7.3) [1]可从(7.2)推论，也可做一下组合证明从[1,n+r+1]取a1a2…anan+1， 设a1＜a2＜…＜an ＜an+1， 可按a1的取值分类：a1=1,2,3,…r,r+1. a1=1, a2…an+1取自[2,n+r+1] 有( )种取法 n n+1 n+2 n+r n+r+1 n n n n n n+r n a1=2, a2…an+1取自[3,n+r+1] 有( )种取法 n+r-1 n … … … a1=r, a2…an+1取自[r+1,n+r+1] 有( )种取法 n+1 n a1=r+1, a2…an+1取自[r+2,n+r+1] 有( )种取法 n n 也可看做按含1不含1，含2不含2,…, 含r不含r的不断分类 1.8若干等式及其组合意义 [2]从(0,0)到(n+1,r),过且仅过一条带箭头的边,而过这些边的路径有(从下到上) ( ),( ),…,( ) 故有.( )+( )+( )+…+( )=( ) n n+1 n+r n n n n n+1 n+2 n+r n+r+1 n n n n n r (n+1,r) . . . (0,0) n n+1 1.8若干等式及其组合意义 [3] 可重组合. [1,n+2]的C(n+2,r)模型 ( ) 不含1,含1个1,含2个1,…,含r个1 C( ),C( ),C( ),…,C( ) ( ), ( ), ( ),…, ( ) n+r+1 r n+1 n+1 n+1 n+1 r r-1 r-2 0 n+r n+r-1 n+r-2 n r r-1 r-2
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