广义Black-Scholes方程的Adomian分解方法-研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 1 绪 论 1.1 本文选题的目的和意义 1.1.1 研究问题的提出 金融市场是一个国家经济发展的基础和动力源。在过去的一个世纪中，西方 国家充分享受着由金融市场的推动给经济带来的繁荣。美国硅谷更是通过技术与 金融市场的对接，资本与技术的结合，从一个西部小山谷一跃成为了世界高科技 产业当之无愧的霸主，就算是同属美国本土且依托哈佛和麻省理工学院的 128 公 路工业园亦难以望其项背。 随着中国改革开放的推进，市场经济改革取得了很快的发展，经济的快速发 展的同时需要一个发达的金融市场做助推。目前的中国资本市场已初具规模，各 项制度正在逐步完善，而银行的商业化改革也已基本完成，中国的资本市场正在 朝着更加开放、更加发达的金融市场体系迈进。为此，不断鼓励探索金融创新， 加快金融市场建设步伐，建立一个有效、规范、现代化的金融体系是中国的当务 之急。兵马未动，粮草先行。中国经济的进一步开放和世界金融经济一体化进程 的加快，亟需一些创新、有效、可行的金融经济理论作为支撑。 现代金融经济学研究的中心问题是金融风险的控制和金融资产的定价。期权 作为风险管理的核心工具，它能够通过套期保值降低交易风险而备受人们的关注。 最原始的期权定价模型源自于 Louis Bachelier 。他在学位论文《Theorie de la Speculation》中根据随机游走的思想建立了一个描述股票价格变化的随机模型，将 [1] 数学方法引进了金融经济学，为期权定价的研究打下了坚实的数学基础 。1964 年，Paul Samuelson 在Bachelier 的模型基础上进行了修正，以股票的收益代替原 模型中的股票价格，利用一个随机微分方程模型修正了原模型中股票价格可能为 [1] 负的情况 。随后在1973 年，Black 和Scholes 极具创新地研究推导出了著名的期 [2,3] 权定价公式Black-Scholes 方程，首次给出了期权定价的解析方程 。他们开启了 期权研究的新纪元，成为了金融衍生证券发展史上的里程碑，为后来金融衍生品 市场的迅猛发展奠定了坚实的理论基础。欧式期权的定价虽然推导出了显式的表 示式子，但是解的形式复杂，不能快速的进行求解。当期权收取交易费用或者变 为美式期权的时候，Black-Scholes 方程得不到精确解。另外，当Black-Scholes 方 程里的参数依赖于时间时，同样难以求出解析解。随着科学技术的飞速发展，数 值计算变得越来越容易，数值方法也慢慢地成为了一种非常重要的衍生品定价方 法，因此研究期权定价的数值计算具有重要的意义。 1 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 1.1.2 主要创新 [4] [5] 传统的数值方法有很多，例如准径向基函数法 、算子分裂法 、Adomian 分 [6,7] [8] [9,10] [11] [12] 解法 、罚函数法 、有限差分法 、半离散化法 、自适应θ 方法 、变分法 [13] [14] [15] 、有限元法 、三次B 样条配点法 其中有限差分方法是最常用的方法，但是 通常情况下有限差分法只能处理一些有界初边值问题。本文主要利用Adomian 分 解法进行求解，Adomian 方法具有收敛速度快、精确度高的特点，而且能够有效 地处理初值问题，它不要求限定在一个有界区域，在本文的研究中只是为了分析 方便故而取x [, ]