高等代数CAI张禾瑞 郝炳新 编 （第四版）-课件.pptVIP

1.3 数学归纳法 内容分布 1.3.1最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 1.3.1 最小数原理 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 1． 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2． 设c是任意一个整数，令 注意 那么经代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立. 也就是说， 的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数. 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。 1.3.2数学归纳法的依据 定理1.3.1（数学归纳法原理） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ①当n=1时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n= k+1 时命题也成  立；那么这个命题对于一切正整数n都成立. 证 设命题对于一切正整数都成立. 令S表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是，由最小数原理，S中有最小数h .因为命题对于n=1成立，所以 从而h-1是一下正整数. 因为h是S中最小的数，所以 . 这就是说当n=h-1时，命题成立. 于是由②，当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾. 例1 证明，当 时，n 边形的内角和等于(n-2)π. 证 当n=3 时，命题成立. 因为三角形的内角和等于π= (3-2)π. 假设时命题成立. 任意一个k+1多边形 ，联结 ，那么 的内角和就等于三角形 的内角和加上k边形 的内角和. 前者等于π，后者由归纳法假定，等于(k-2)π. 因此k+1多边形  的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命题得证. 定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立. 数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。 1.4 整数的一些整除性质 一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。 1.4.1 整除与带余除法 设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a | b表示a整除b。这时a叫做b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 . 整除的基本性质： ① ② ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以1和 - 1整除。 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑥ ⑦ 定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 ，那么存在一对整数q和r，使得 满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。 证 令 。因为 ，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得r=b-aq是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而 所以 。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此 . 假设还 ，使得 于是就有 。如果 那么 由此或者