电磁场和电磁波-第1章.pptVIP

电磁场与电磁波第一章 矢量分析 矢量分析 标量与矢量 标量：只有大小而没有方向的量——Scalar 矢量：不但有大小而且有方向特征的量——Vector 单位矢量：矢量模为1的矢量 矢量描述：有向线段、单位矢量、分量表示 常矢量：大小和方向均与空间坐标无关的矢量 单位矢量是常矢量吗？ 矢量代数 矢量的“和／差”计算：作图法、分量法 矢量代数 矢量的“乘积”计算：点积、叉积 点积——标量积(Scalar Product） 大小、符号： “模”： “正交”： 矢量代数 例题：利用矢量运算证明三角形余弦定理 矢量代数 思路： 1.C长度~矢量C的“模”： 2.矢量C是矢量A和B的矢量和： 解： 矢量代数 叉积——矢量积(Vector Product） “模”： 方向：“右手螺旋法则” 含义：“平行四边形面积”、“右手法则” 标量场的等值面 等值面：标量等于常数的空间曲面称为标量场的等值面——等高线 记忆——“爬山” 等值面 沿什么方向最“陡”？ 标量场的方向导数 方向导数：标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。 例如标量场 ? 在 P 点沿 方向上的方向导数 定义为 标量场的梯度 梯度：标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向，梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。 梯度是矢量 梯度的表示 若引入哈密顿算符? ，则梯度可表示为： 直角坐标系中： 柱面坐标系中： 球面坐标系中： 课堂作业 例题： 已知 令 求 梯度 解法一：直接法——梯度公式 解法二：分析法——找规律 利用直角坐标系中 例1－4－2 矢量场的通量 通量：矢量沿某一有向曲面的面积 分称为该矢量通过该有向曲面的通量， 以标量? 表示，即 当有向（外法线方向）曲面闭合时： 通量为正，表明矢量穿出闭合面，该闭合面中存在产生该矢量场的源（正源）； 通量为负，表明矢量进入闭合面，该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（负源）； 通量为零，表明进入闭合面的通量与穿出闭合面的通量相等。 例：真空中的高斯定律 矢量场的散度 通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。 散度：当闭合面向某点无限收缩时，矢量通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场在该点的散度，即 散度是标量，可视为通过包围单位体积闭合面的通量。 散度定理 散度定理（高斯定理） 数学角度： 建立了面积分和体积分的关系 物理角度： 建立了区域中的场和包围区域的闭合面上的场之间的关系 散度的表示 引入哈密顿算符? ，则散度可表示为： 直角坐标系中： 圆柱坐标系中： 圆球坐标系中： 例1－5－2 矢量场的环量和旋度 环量：矢量场沿一条闭合有向曲线的线积分称为矢量场沿该曲线的环量，以? 表示，即 环量为正，表明矢量 的方向与 同向； 环量为负，表明矢量 的方向与 反向； 环量为零，表明闭合曲线包围的总的源强度为零。 环量可用来描述矢量场的旋涡特性。 例：真空中的安培环路定律 矢量场的环量和旋度 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。 环量强度 旋度：旋度的方向是使矢量具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 旋度是矢量，其大小可视为包围单位面积的闭合曲线的最大环量。 旋度定理 旋度定理（斯托克斯定理） 数学角度： 建立了面积分和线积分的关系 物理角度： 建立了区域中的场和包围区域的闭合曲线上的场之间的关系 旋度的表示 引入哈密顿算符? ，则旋度可表示为： 直角坐标系中：（行列式表示） 圆柱坐标系中： 圆球坐标系中： 梯度、散度、旋度的点特性 无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。 函数的连续性是可微的必要条件，因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。 小结 梯度：矢量、大小、方向、物理意义 散度：标量、大小、物理意义 ——发散源 旋度：矢量、大小、方向、物理意义 ——旋涡源 无散场与无旋场 一切矢量场的源只有两种类型（