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二次函数与幂函数 ［A 组．习题 1］ 二次函数与幂函数 2 3 3 5 1. ☆已知x ＞x ，则x 的取值范围是 ． 2 3 3 2 3 5 3 5 5 3 解析：x ＝ x²，x ＝ x ³，当x ＜0 时，显然x ＜0＜x ． 3 1 5 15 当x ＞0 时，原不等式两边同时除以x ，得x ＞1，∴ x ＞1． 综上，x 的取值范围是 (－∞,0) ∪(1,＋∞) ． 2. ☆给出下列四个命题： ⑴ 当n ＝0 时，函数y ＝xn 的图象是一条直线； ⑵ 幂函数的图象都经(0, 0)，(1, 1)两点； ⑶ 幂函数的图象不可能出现在第四象限； ⑷ 图象不经过点( －1, 1)的幂函数一定不是偶函数． 其中正确的有 ． 解析：当n ＝0 时，因为x 不能取 0 ，所以函数y ＝xn 的图象在点(0, 1)处是断开的，命题⑴错误． 当指数 n 为负数时，幂函数的图象不经过(0, 0)这点．（如y ＝x-1 的图象．）命题⑵错误． 因为当x ＞0 时y ＝xn 的值不可能为负，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限．命题⑶正确． 所有幂函数的图象都经过点(1, 1)，一个幂函数如果是偶函数，必须要满足f (－1)＝f (1) ＝1， 所以图象不经过点( －1, 1)的幂函数一定不是偶函数，命题⑷正确． 综上，其中正确的命题有 ⑶⑷ ． 3. ☆已知函数y ＝ mx²＋(m －3)x ＋1的值域是[0,＋∞)，则实数 m 的取值范围是 ． 解析：m ＝0 显然符合题意，m ＜0 不合题意． 若 m ＞0，还需满足 (m －3)²－4m ≥0 ，解得 m ≤1 或 m ≥9 ．∴ 0＜m ≤1 或 m ≥9 ． 综上，m 的取值范围是 [0, 1] ∪[9,＋∞) ． 4. ◎已知f (x)是定义在 R 上的奇函数，当0≤x ≤1 时，f (x) ＝x²，当x ＞1 时，f (x ＋1)＝f (x) ＋f (1)，且k ∈R ．若 直线y ＝kx 与函数y ＝f (x) 的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k 的值为 ． 解析：先画出f (x) 的图象． y O 1 x 直线y ＝kx 与函数y ＝f (x) 的图象恰有 5 个不同的公共点，而原点 O 显然是一个公共点． 所以在y 轴右侧恰好有 2 个交点．从图象上看，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x)在区间(1, 2)上的图象应相切． 1 二次函数与幂函数 ［A 组．习题 1］ 当x ∈(1, 2)时，f (x) ＝(x －1)²＋1． 令(x －1)²＋1＝kx ，变形：x²－(k ＋2)x ＋2 ＝0， 由Δ＝(k ＋2)²－8＝k²＋4k －4 ＝0 解得 k ＝