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23.3.1 相似三角形 复习 1、什么叫做全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？ 对应边相等、对应角相等。 3、什么叫做相似多边形？什么叫做相似多边形的相似比？ 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 探究新知 定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。 表示法：∽，读作“相似于” 如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为△ABC∽△DEF 对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。 可要注意呀! 相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比(求相似三角形的相似比要注意顺序性) 这两个三角形的相似比怎样表示呀？ 我们就说△ABC与△DEF______，记作__________________，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相似比是____. 在△ABC与△DEF中， 如果∠A=∠D, ∠B=∠E,∠C=∠F, △ABC∽△DEF 相似 反之如果△ABC∽△DEF，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____, 且 . ∠D ∠E ∠F 当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似. 相似比为1时，相似的 两个图形有什么关系？ 议一议 例1.△ABC∽△ADE,AD=6,EC=4,AE=8,DB=10,则△ABC与△ADE的相似比为（ ） 观察下列图象，并找出各对相似三角形的对应角和对应边： 图2 A B C D E F △ABC∽△ACD △AOC∽△BOD △ABC∽△EDF 图3 看一看 例2.如图，已知△ABC∽ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=450，∠ACB=400，求⑴∠ADE和∠AED的度数；⑵DE的长 50cm 30cm 70cm 450 400 ？ 例1.△ABC∽△ADE,AD=6,EC=4,AE=8,DB=10,则△ABC与△ADE的相似比为（ ） 解：⑴因为△ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得∠AED=∠ACB=400。而在△ADE中∠AED+∠ADE+∠A=1800，所以∠ADE=1800-400-450=950 ⑵因为△ABC∽△ADE，，所以由相似三角形对应边成比例，得AE：AC=DE：BC，即50 ： （50+30）=DE：70，所以DE=43.75cm 想一想:在上述的条件下,图中有哪些线段成比例? 线段DE与BC平行吗?为什么? 猜猜看!我们学习平行线分线段成比例时得到的两吧？个三角形不会就是传说中的相似三角形 1cm 2cm 1.5cm 3cm 2cm 6cm 已知：如图，DE ∥ BC,并分别交边AB、AC于点D、E。 求证： △ADE ～ △ABC ∵ DE ∥ BC 证明： ∴ ∠ADE=∠B,∠AED=∠C； 过点D作DF ∥AC, 交BC于点F， 四边形DFCE是平行四边形， 又∵ DE ∥ BC ∴ ∴ DE=FC. 又∵ ∠A=∠A ∴△ADE ～ △ABC （相似三角形的定义） 推理证明 猜想验证 如图，DE ∥ BC, DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. F 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. “A”型 “X”型 （图1） 1.如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE//BC，DE=5.求BC的长。 解 ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似） 例：如图D为△ABC的边AC上一点，DE∥AB，交BC于E. (1)证明△ABC∽△DEC (2)BE=1,EC=2，求AB:DE， 并计算△CDE与△ABC的相似比k. C A B D E 如右图所示， △ABC与△DEC是否相似？ 例1. ABCD,E为DC边一点，OD=3m,BD=9m.求证：DE=CE. 例2：AB平行GH平行CD,AB=2,CD=3,求GH 例3.DE平行BC, ,DE=6,求BC长 1.如图， ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有______对。 6 2、如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DEC