8(4)高数(精品·公开课件).pptVIP

二、全微分形式不变性 求 在点(1,1)处可微,且 设函数 解 2001年考研数学一, 6分 多元复合函数的求导法则 由题设 多元复合函数求导法则 (链导法则) 全微分形式不变性 (理解其实质) 多元复合函数的求导法则 三、小结 (大体分三种情况) 求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导 思考题 多元复合函数的求导法则 正确的是( ). 思考题解答 令 则 两边对t求导,得 多元复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 全微分形式不变性 小结 思考题 作业 第四节 多元复合函数的  求导法则 第八章 多元函数微分法及其应用 一、复合函数的求导法则(链导法则) 证 1. 中间变量为一元函数 的情形. 定理 且 其导数可用下列公式计算: 多元复合函数的求导法则 具有连续偏导数, 可微 由于函数 有连续偏导数 多元复合函数的求导法则 复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 导数 变量树图 三个中间变量 称为 全导数 (又称链导公式). 多元复合函数的求导法则 项数 问: 每一项 中间变量 函数对中间变量的偏导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数). 的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构 多元复合函数的求导法则 例 设 求 这是幂指函数的导数, 但用全导数公式较简便. 法二 y u v x 解 法一 可用取对数求导法计算. 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 复合函数为 则复合函数 偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量 具有连续偏导数, 2. 的情形. 变量树图 u v 多元复合函数的求导法则 解 多元复合函数的求导法则 例 中间变量多于两个的情形 类似地再推广, 复合函数 在对应点 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 多元复合函数的求导法则 例 设 解 自己画变量树 求 多元复合函数的求导法则 只有一个中间变量 即 两者的区别 区别类似 多元复合函数的求导法则 3. 的情形. 把复合函数 中的y 看作不变而对x的偏导数 把 中的u及y 看作不变 而对x的偏导数 解 z u x y x y 变量树图 例 多元复合函数的求导法则 例 设 f具有二阶连续偏导数, 变量树图 u r s x t 或记 u对中间变量 r,s 的偏导数 注 从而也是自变量x, t 的复合函数. 解 都是x, t 的函数, 对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量. 多元复合函数的求导法则 u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则 u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 解 具有二阶连续偏导数, 且满足 2003年考研数学三, 8分 故 由 例 解 现将 把下列表达式转换为极坐标系中的形式: 设 的所有二阶偏导数连续, 函数 换成极坐标 的函数: 及 以及函数 对 的偏导数来表达. 多元复合函数的求导法则 复合而成. r u θ x y (1) 及 多元复合函数的求导法则 得 r u θ x y 多元复合函数的求导法则 (2) r u θ x y 设 的所有二阶偏导数连续 多元复合函数的求导法则 同理可得(自己练) 多元复合函数的求导法则 两式相加,得: 多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导法则 例 假设流体中一质点的运动速度为 其中 由于质点随流体运动, 故其位置 也随时间t 而变化. 试求质点运动的加速度 答案 时变加速度 位变加速度 已知f(t)可微,证明 满足方程 提示 t, y 为中间变量, x, y 为自变量. 引入中间变量, 则 多元复合函数的求导法则 具有连续偏导数, 则有 全微分 则有全微分 全微分形式不变性的实质 多元复合函数的求导法则 解 例 通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便. 多元复合函数的求导法则 1994年研究生考题,计算,3分 答案： 多元复合函数的求导法则 1989年研究生考题,计算,5分 解 多元复合函数的求导法则 1990年研究