复杂二次分式函数极值快速解法.docxVIP

复杂二次分式函数极值的快速解法 在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间. 二次分式函数具有形式. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值. 定义域和有界性 ,设 .则函数定义域 .当.此时函数无界.当,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如 ).所以通常当 ,二次分式函数是无界的. 是函数的渐近线. 当,函数定义域为 .函数有界. 单调性,极值,值域 当,,可以将函数化为 ..对于值域中的每一个y,方程都有实数解, .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入函数解出 ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法. ,根据极值与的大小即可判断单调区间.这种情况最多有三个单调区间. 当,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出 .出现这种情况,求解和 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如 分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子. .首先定义域 解得 .分离分子中的二次项得 . .代入得 函数值域 根据, 可判断出单调区间 共有5个单调区间 顺便再算一下函数零点 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像 通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法. 二次分式函数极值公式 很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数. 我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子 .函数取极值时 . 我们只需解方程即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x值是否在定义域内. 将方程系数与比较.发现N可以写成三阶行列式. .这样就很容易记住了. 对于上面的例子, 解得.这种方法比分离变量快多了. 要求单调区间,由于N的符号和相同,大致画出 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间. 如果要求极值,把x代入函数 计算量很大,对于x很复杂的情况建议用判别式求值域. 想到取极值时的x值可用方程表示,我们也找到一个关于y的方程. 联立 ,消去x整理得 . 我们只需特别记住一次项系数.比较发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍 对于上面的例子,将系数代入该方程得 解得 . 根据已求出的单调区间, 比较 和极值的大小即可区分极大值和极小值. 我们重新回顾判别式求值域的方法. 的解即为极值. 重新整理方程可得 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的. 在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用和渐近线求出单调区间进而求出值域. 下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题. (2013浙江)如图,点 是椭圆 的一个顶点,的长轴是圆 的直径. 是过点P且互相垂直的两条直线,其中交圆 求椭圆的方程; 求面积取最大值的直线的方程; 第一问 设 O到AB距离 , . 设 (套用圆锥曲线硬解定理) 接下来是关键了,用我们的公式来算. 现在算最大面积. 代公式