田忌赛马数学模型.pdfVIP

（1） 由题目可看出以下几点： 在决策时采用不同的决策方法会产生不同的结果； 对方决策透明了后，就不存在博弈问题了； 不同决策会产生不同结果时才会产生博弈问题，即不同决策产生相同结果 时就不存在博弈了。 赛马前田忌与齐王都不知道对方马的出场顺序时，而双方都想通过调整马的 出场顺序赢得比赛，则这是博弈问题。 反之，如果一方出场顺序已被对方知道，即对方决策已确定且被知道，那么 这就是单人决策问题。 （2） 该博弈不存在纯战略纳什均衡，具体证明及混合纳什均衡的模型见以下数学 模型： 一、问题重述 “田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛 马，设重金赌注，孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三 等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能帮你取胜。”田忌相信并答应了 他，与齐王用千金来赌注。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马 对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。” 三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。 现在假定齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不 可改变。 二、基本假设 1 齐王与田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变； 2 比赛过程不会发生其他的意外情况； 3 双方马的脚力每等齐王的比田忌的都略强。 三、问题分析 该问题可以看成是一个博弈问题，双方有三种马的出场顺序，不同的出场顺序 产生不同结果，通过建立数学模型来分析双方以怎样的出场顺序会得到怎样的结 果。 由于齐王的各等马均略强于田忌的，因此田忌只有通过合理的安排马的出场顺 序才能赢得比赛。 四、模型建立 参与博弈的双方用N= （1,2）表示，1 为田忌，2 为齐王； 田忌：a1(1 2 3) a2(1 3 2) a3(2 1 3) a4 (2 3 1) a5(3 2 1) a6(3 1 2) 表示其六种出场顺序； 齐王：b1(1 2 3) b2(1 3 2) b3(2 1 3) b4(2 3 1) b5(3 2 1) b6(3 1 2) 表示其六种出场顺序。 设比赛赢一场记一分，则对田忌的赢得分数： b1 b2 b3 b4 b5 b6 a1 -3 -1 -1 -1 -1 1 a2 -1 -3 -1 -1 1 -1 a3 -1 1 -3 -1 -1 -1 a4 1 -1 -1 -3 -1 -1 a5 -1 -1 1 -1 -3 -1 a6 -1 -1 -1 1 -1 -3 考虑表中数字，可写如下矩阵： -3 -1 -1 -1 -1 1 -1 -3 -1 -1 1 -1 A= -1 1 -3 -1 -1 -1 1 -1 -1 -3 -1 -1 -1 -1 1 -1 -3 -1 -1 -1 -1 1 -1 -3 由于它是田忌赢得表中数字依次抽象出来的，所以这个矩阵A 为田忌的赢得矩 阵； 相反，齐王的赢得矩阵为：-A 很明显，此时田忌赛马不存在纯纳什均衡，只存在混合纳什均衡。 对于不存在纯纳什均衡的博弈问题，可以考虑双方随机地采取行动，设田忌采 取行