椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案).docVIP

椭圆中的焦点三角形及求离心率问题 1、若椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，∠PF1F2＝90°，试求△PF1F2的面积． 【解】　椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝eq \f(3,2)， 因此S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|PF1|＝eq \f(3,2).故所求△PF1F2的面积为eq \f(3,2). 2、设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　B　) A．5　B．4 C．3　D．1 【解】　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq \r(5))2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×4×2＝4，故选B. 3、过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________． 【解】由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝eq \r(3)x，又|F1F2|＝2c，所以x＝eq \f(2c,\r(3)).即|PF1|＝eq \f(2c,\r(3))，|PF2|＝eq \f(4c,\r(3)).由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以eq \f(2c,\r(3))＋eq \f(4c,\r(3))＝2a，即e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3). 4、已知椭圆的两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且eq \o(AF1,\s\up14(→))·eq \o(AF2,\s\up14(→))＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________． 【解】 ∵eq \o(AF1,\s\up14(→))·eq \o(AF2,\s\up14(→))＝0，∴AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝60°.设|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝eq \r(3)c，|AF2|＝c.由椭圆定义知：eq \r(3)c＋c＝2a即(eq \r(3)＋1)c＝2a.∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1. 5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A　) A.eq \f(1,2)　　　B.eq \f(1,3)　　　C.eq \f(1,4)　　　D.eq \f(\r(2),2) 6、设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率． 【解】设A(a,0)，点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是eq \f(a,2)，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y))，由点P在椭圆上，得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，y2＝eq \f(3,4)b2，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝eq \f(\f(\r(3),2)b,\f(a,2))＝eq \f(\r(3),3)，所以a＝3b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(?3b?2－b2),3b)＝eq \f(2\r(2),3). 7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率． 【解】　如图，设椭圆两焦点为F1，F2，与正六边形 其中两个交点为A，B，并设正六边形边长为m，则根据正六边形的性质有：∠FAB＝120°，|OF1|＝m，根据余弦定理F1B2＝m2＋m2－2m·m·cos 120°＝3m2，∴F1B＝eq \r(3)m，又2a＝F1B＋BF2＝eq \r