4.3-高阶方程的降价和幂级数解法.pptVIP

§4.3 高阶方程的降阶法  和幂级数解法 Step-down Order Method and Series Method * §4.2 内容回顾 1 2 方程类型 基本解组或通解 常数变易法 特解 相加 比较系数法 拉普拉斯变换法 求解方法 本节内容/Contents/ 1 . 几类可降阶高阶方程 2 . 幂级数解法（求特解） 1) 方程不显含未知函数 及 则方程可降为 阶的方程，即可降 阶 4.3.1 可降阶的方程的类型 n 阶方程的一般形式 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 方法 令 则 的通解 若可求得 逐次积分 次，可得原方程的通解。 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 特别，对于二阶方程 积分，可得原方程的通解 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 解 令 例1 求方程 的通解。 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 2)不显含自变量 的方程 可降低一阶 方法 令 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 假定 将 代入原方程 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 降低一阶 分离变量，可得原方程的解。 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 例2 求解方程 或 解 令 §4.3 Step-down Order Method and Series Method §4.3 Step-down Order Method and Series Method 则(4.2)的基本解组可以求得。 可降低 k 阶，即可得到 n-k 阶的齐次线性方程。 3) 齐次线性方程 已知 (4.2)的 k 个线性无关的特解，则(4.2) 结论 特别地，如果已知(4.2)的 n-1 个线性无关的解， §4.3 Step-down Order Method and Series Method 令 方法 设 是(4.2)的 k 个线性无关的解 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 令 n-1阶线性方程 可将 化为 阶线性方程 或 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 同理，对于 就知道了 个非零解 且其线性无关， 线性无关， §4.3 Step-down Order Method and Series Method 类似地,令 或 线性无关的解， 继续下去，得到一个 n-k 阶的线性齐次方程 若 k= n-1，则可得到１阶线性齐次方程，则 可求得通解。 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 令 特别，对于二阶齐次线性方程　　 若知其一非零解 ，则可求得通解。 §4.3 Step-down Order Method and Series Method §4.3 Step-down Order Method and Series Method 基解组为　　　　　　　　　　 通解 P.113 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 例4 已知 是方程 的解，试求方程的通解。 解 §4.3 Step-down Order Method and Series Method 4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法 （求特解） 解 为方程的解 例5 的解。 求方程 的满足初始条件 设 §4.3 Step-down Order Method and Series Method §4.3 Step-down Order Method and Series Method