第六讲 动态划背包问题.pptVIP

计算机系 费玉奎 背包类动态规划问题 经典的背包问题（01背包） 有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？ 动态规划 可以按每个物品进行规划，同样每种物品有选和不选两种选择 设F(i,j)表示前i件物品载重为j的最大效益，则有 1=i=N, 0=j=N 初值：F(0,j)=0 F(N,M)即答案 显然时间复杂度为O(NM) 主程序如下 for i:=1 to m do f[0,i]:=0; //初始化 for i:=1 to n do f[i,0]:=0; for i:=1 to n do // 动态规划，递推求f for j:=1 to m do begin if j=w[i] then //背包容量够大 f[i,j]:=max(f[i-1,j-w[i]]+c[i],f[i-1,j]) else //背包容量不足 f[i,j]:=f[i-1,j]; end; 满背包问题（01背包） 有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车开车正好装满时，运送的总价值最大？ 若无法装满卡车，则输出无解。 动态规划 设F(i,j)表示前i件物品背包为j的最大效益，则有 1=i=N, 0=j=N 初值：F(0,j)=0， F(1,j)= -∞ F(N,M)即答案 显然时间复杂度为O(NM) 带条件的背包问题（1） 有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 第i件物品可能带0~2个附件； 若装载附件，必须装载主件，反之没有约束； 现有一辆载重M公斤的卡车; 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？ 分析 假设只有主件的情况 ，显然与经典背包问题完全相同！ 现在每个物品有附件，我们可以分成4种方案 仅装载主件 装载主件+第1个附件 装载主件+第2个附件 装载主件+2个附件 由于上述4种并列，这是几种不同的决策同时规划即可 动态规划 设F(i,j)表示前i件物品背包为j的最优解，则有， 1=i=N, 0=j=M 时间复杂度O(NM) 多层背包问题 有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 第i件物品限制最多只能取Xi个； 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？ 分析 我们可以类似01背包问题，将第i种物品拆分成x[i]个，这样每个物品只有1件了,如下图: 然后对所有的物品采用动态规划即可。 F(i,j)=max{ f(i-1,j-k*w[i]) + k*c[i] } 0=k*w[i]=j 完全背包问题 有N件物品; 第i件物品Wi公斤; 第i件物品价值Ci元; 现有一辆载重M公斤的卡车; 每次可以选取某种物品的任意多件装载； 问选取装载哪些物品，使得卡车运送的总价值最大？ 分析 类似多层背包问题将每个物品展开成X[i ]=m/w[i]个，然后对所有的物品采用动态规划即可。 若两件物品i、j满足c[i]=c[j]且w[i]=w[j],则将物品i去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高的j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。 由于每种物品有选和不选两种情况，可以将每种物品的2k个当成一个整体考虑。这样对于某种物品要选取多个，都可以由若干个2k个物品进行组合 (即2进制数)。例如第i种物品要选10个，则10=23+21 。 这样第i种物品的个数为k=㏒2 (m/wi)物品，是一个很大的改进。 进一步, 在计算k时, K =㏒2 (j/wi), j为当前背包剩余空间。 进一步 for i:=1 to n do // 动态规划，递推求f for j:=m downto 1 do begin if j=w[i] then //背包容量够大 f[i,j]:=max(f[i-1,j-w[i]]+c[i],f[i-1,j]) else //背包容量不足 f[i,j]:=f[i-1,j]; end; 在这里为了使得每个物品只取1个或不取,采用了每次取j都是与i-1进行比较，实际上保存了每1步取不同j的值 改进程序 事实上，我们只关心剩余背包的最大值，也就是仅仅关心f(j),因此，在对f(j)更新时，只要背包容量可以，那么可以反复更新。程序如下： for i:=1 to n d