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数学讲义三 1 - 讲义三：第二章 极限、导数与微分 一、 极限概念 1.数列的极限 问题引入：黄金首饰有％纯金的吗？ 1黄金： … (） 2杂质： … (） 3长度的一半 … (） 4自然数的倒数 … (） 结论：1。无穷大的倒数趋近于 2．如上例1 、2、 3 所示：数列在时，无限趋近于某个固定的常数,则称数列以为极限， 记为 ＝ 如 此时也称数列收敛。否则发散,如：1 -1 1 -1 …。 2.函数极限 记住以下符号的意思： ：表示x越来越小，即一直向数轴的左边取值，； ：表示x越来越大，即一直向数轴的右边取值，； ：表示x的绝对值越来越大，即x的取值同时向数轴的左右两边扩散，； ：表示x的取值无限靠近一个数，； ：表示x的取值从比小的方向（即左边）无限靠近一个数; ：表示x的取值从比大的方向（即右边）无限靠近一个数. 极限——当发生以上某种变化趋势时，函数值无限靠近的一个常数A称为此时的极限，分别记为 其中后两个分别叫做左极限和右极限。 1） 时本质上和数列极限时一致的，故 注意： 解题技巧： （1）；，和不存在（摇摆型的）。 （2）对于分段函数（即有大括号“{”出现的函数），在分段点处的极限要考虑左右极限，而。 例：书p.63.例11 二、求极限的方法 1. 四则运算法 （1）有关法则： 1）．和的极限=极限和： 例： 练习： 2）．积的极限=极限的积： 商的极限=极限的商： 例：＝＝2＝2 练习：＝ ＝ ＝ 3）常数可提出： 4）n方的极限=极限的n方： 练习：＝ ＝ ＝ （2）解题步骤： 1）当时，把代入中， 例1： 练习： 例2：常考题型 1）. :练习1： 练习2： 2）. 练习： 2） 时， 若 附：求极限的公式：， 即当“上小零，上大无穷”，“上下相等”=首个系数比！ 例如 练习： 1、_____________；2、______________） 注意：碰到极限，首先考虑以上方法； 2.重要极限法 （1）. 第一个重要极限 例1： 思考 练习1： 例2: 求极限 解： ＝ 1× ＝ 练习2： 练习3： 注意：＝ ＝ ＝ （2）. 第二个重要极限＝或＝ 用该极限的条件： ① 指数→ ，底为1+非1项，即 ； ② 指数与非1项 互为倒数 例1：?＝＝ ＝ ＝ 例2： 练习： 3．无穷小量性质法 （1）无穷小的定义——极限为0的函数 例： ，所以时，为无穷小量； ，所以时，为无穷小量； ，所以时，为无穷小量； （2）性质：无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量 例： 练习1：书p.65. T2 (4)? ，T6， 练习2：已知，当（ ）时，为无穷小。（07,09年） A． B． C． D． 练习3： 三、函数的连续性 定义：若 则称函数在处连续。 否则，称为间断点。（通常使分母为0的点是间断点） 常见题型： （05年） （06年） 4．（07年） 已知若在（-,+）内连续，则= （07年） 5．函数的间断点是