n阶行列式的计算方法和技巧.【精】.docVIP

快乐 　哈尔滨职业技术学院学报　　　　　2008年第1期　　　　Journal　of　Harbin　Institute　of　Vocational　Technology ?119? 中图分类号:O151　　文献标识码:A 　　文章编号:1008—8970—(200706—0119—02 [收稿日期]2007-09-11 [作者简介]代冬岩(1980-,女,黑龙江八一农垦大学教师。 n阶行列式的计算方法和技巧 代冬岩 (黑龙江八一农垦大学,黑龙江大庆　163319 摘要:归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对各种方法适用范围和特点进行总结,以便更好地 运用其解决各种类型题。 关键词:n 阶行列式;行列式的性质;方法;技巧 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式的计算在其中起到重要作用。最直接的计算方法就是用定义,但通常计算量很大,一般不采用。所以如何选择适当的方法求解行列式十分关键,下面介绍一些常用的方法和技巧。 一、化三角形法 化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形,化为上(下三角形行列式,再利用上(下三角形行列式的特点(主对角线上元素的乘积,求出值。 二、按行(列的展开定理(降阶法　　　　按行(列展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为多个2阶行列式计算。 这两种方法我们比较常用,就不详细介绍了。三、递推法 此法的要点是:利用已给行列式D n 　的特点,建立起同类型的n阶行列式和n-1阶(或更低阶行列式之间的关系式,这个关系式叫递推关系式。再根据递推关系式,求出D n 　的一般表示式 例1　计算n阶行列式 [分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上条对角线和最后一行元素外,其余元素都为零。从行列式的左上方往右下方看,即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 解:第1行,第1列均只有两个元素,不妨按第1列展开,得D n =x D n-1+a, 由此递推得　= 将上式第1行乘以-1加到第i行;第i行乘以 [注意]　大家一定要记住,加边法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子,这样升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零,然后再化为三角形行列式,这样就达到了简化计算的效果。 　哈尔滨职业技术学院学报　　　　2008年第 1期　　　　Journal　of　Harbin　Institute　of　Vocational　Technology ?120?五、拆项法 由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列法。 例　3　计算n (n≥2 阶行列式 解:将D n 按第一列拆成两个行列式的和, 即 上式等号右端的第一个行列式:第i列减去第一列的i 倍,第i列再提取公因式 ,再分别减去第一列的　倍(i=2,3,…,n,则得到 当n≥3时,　D n =0;　　　　　当n=2时, 证明:当n=2时,由上可知结论成立 假定对这样的n-1阶行列式结论成立　进而证明对阶数为n时结论成立 按D n 的最后一列,把D n 拆成两个行列式相加 把上式中的第一个行列式最后一列的-1倍加到前面各列,得到一个对角形行列式其值为　 ,由归纳假定 知 　　　　　　　　2　 3.范德蒙行列式 [注意]有时此类的行列式需要稍加转化,转化成上面的 形式后,再利用公式和定理计算。 以上几种方法已将n阶行列式的计算方法大部分囊括在内,虽然方法很多,但不难掌握。我们解答问题时,要重视方法分析,着重培养解决问题的能力和技巧,形成良好的数学思维,在今后的数学学习中应该多多注意。 [参考文献] [1]　钱芳华.高等代数方法选讲[M].广西:　广西师范大学出版社　,1991. [2]　许甫华,　张贤科.高等代数解题方法[M].　北京:清华大学出版社,2001　. [3]　杨　　勇　,　张震峰.线性代数和概率论自测试题[M].上海:上海财经大学出版社. [4]　陈文灯,　　黄先开.　数学复习指南(经济类[M].北京:世界图书出版公司,2003. [5]　北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:　高等教育出版社,1987. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(责任编辑:杨晓娜