湖南城市学院随机过程讲稿11.pptxVIP

4.4常用时间序列模型数字化技术的应用和发展使得随机序列的分析变得日益广泛和重要，并由平稳随机过程在时间轴上的 取样引出平稳离散随机信号或时间序列的概念。对于这类随机序列，主要采用相关函数和功率谱进行分析。对于平稳离散时间信号，还常用时间序列描述方法进行研究，由此提出时间序列模型法。它是采用各种随机差分方程表示时间序列信号的模型。在许多情况下，一个平稳离散随机信号可以视为白噪声序列通过某一离散时间线性系统所产生的。/40在时间序列信号模型分析中，自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和自回归滑动平均(ARMA)模型是三种最常见的标准线性模型，它们均由白噪声序列通过离散时间线性系统而产生。而实际应用中许多平稳时间序列往往可由这些模型近似表示，使得有关的分析变得更为简单，也为平稳随机序列的分析和产生提供了有效方法。另外，这些线性模型都具有连续功率谱形状，在参数谱估计方面显示出极大的优点。除非特别说明，本章只讨论具有连续谱特性的平稳时间序列。/404.4.1 自回归模型（Auto Regressive Model, AR）设随机序列X(n)可以用如下差分方程来描述：（1）其中W(n)为零均值的平稳白噪声，其方差为 ，ak(k=1,2,…,N)为常数。上式就成为N阶自回归模型。实际上X(n)可以看作平稳白噪声通过离散线性系统后的响应。 1. 一阶 AR模型当上述式子中的N=1时，称为一阶AR模型，如果令a=-a1，则有（2）式(2)是一个一阶差分方程，假设X(0)=0，根据差分方程的递推方法可得：（1）数学期望：如果,由上式可以看出， 的均值有可能不满足平稳性，即可能不满足一阶平稳。然而，如果系数 ，当 较大时，则有在此情况下， 是一阶渐进平稳的。由于 是均值为零的白噪声，所以有：（2）自相关函数：显然，当 时， 并不满足自相关平稳性，但是，当 并且 足够大时，X(n)是趋于平稳的，即有：对于实随机序列，由于 对于 对称分布，有对于 ，不难推得，当 为正数时， 恒为正，且呈指数衰减。当 为负数时， 正负相间指数衰减。 根据 可得 的方差为：说明平稳随机序列 的方差 比白噪声方差 大。最后讨论一阶AR模型的功率谱。对(2)式两边取z变换，可得其传递函数为：从系统传递函数表达式可以得，一阶AR模型只有一个极点z=a，离散系统稳定的条件是所有极点都位于单位圆内，即，因此系统稳定的条件与渐近平稳的条件是一致的。（3）系统输出功率谱为：令 ，有2. 二阶 AR模型当上述式子中的N=2时，称为二阶AR模型，即（3）式中 和 均为实常数， 。上式二阶差分方程的特征多项式为：为了推导方便，定义后向差分算子：于是，二阶AR模型成为：（4）式中 和 为二阶AR模型特征多项式的根，即方程（4）的解由两部分组成，即由奇次解和特解组成。由（4）式可知，其中必然有一个特解为：根据模型差分方程，零输入下得齐次方程奇次解为：式中 和 是待定系数，由初始条件确定。所以二阶AR模型的解：（5）当 时，(5)式右边齐次解随 的增大而趋于零，而特解部分具有有限方差，在均方意义下收敛，随 的增大而渐近收敛于特解公式的平稳结果。实际上，二阶模型的平稳条件与其系数 和 是有关的，这可通过 和 平面表示。(1)当特征根为复数时：特征方程根据平稳条件的要求，系数 和 必须满足：(2)当特征根为实数时：特征方程的函数为：（6）由（6）式可知，特征函数是一个开口向上的抛物线。而且：根据平稳条件 ，因此有：f(r)另外，还要求：-11r于是，可得：综合（1）和（2）式分析，得到以下三个条件：以及这就是保证二阶AR模型平稳的条件，可用系数分布图说明。图中示出了二阶系数欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种情况的系数区域分布，分别对应于以下三种情况：（1）欠阻尼：出现 和 一对共轭复根。（2）过阻尼：出现 和 不同的实根。（3）临界阻尼：出现 和 相同的实根。当X(n)是平稳过程时，现在讨论其自相关函数： 用 代入到方程（3）中可得：对上式两边同时乘以X(n)，并取数学期望可得：（7）在（7）式中W(n)是白噪声序列，它的取值在任意两个时刻是不相关的，而X(n)是W(n)的线性组合，所以有（8）根据（7）和（8）式可得：以及由此解得：对于 时，有（9）方程（9）具有如下形式的通解：（10）式中 和 为特征方程 的根。B1，B2是常数，由边界条件来决定的。其中，特征根为：对于特征根，显然有：为了确定