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《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率 基本概念：随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果 样本点( ---随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间(----随机试验E的样本点的全体 随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集 必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件(--每次试验中一定不发生的事件。 事件之间的关系： ⑧A，B相互独立 P(AB)=P(A)P(B) 例1事件A，B互为对立事件等价于（　D　） A、 B、C、D、P(A)=0，B为任一事件，则（ C ） A、A=( B、A(B C、AB相互独立 D、AB互不相容 例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则： =（ D ）A) 甲未命中目标且乙命中目标 B) 甲乙都没命中目标 C) 甲未命中目标 D) 甲未命中目标或乙命中目标 事件之间的运算： 事件的交AB或A∩B 事件的并A∪B 事件的差A-B 注意： A-B = A = A-AB = (A∪B)-B A1,A2,…,An构成(的一个完备事件组(或分斥)((指A1,A2,…,An两两互不相容，且Ai=( 例1设事件A、BA∩=(，由此推导不出 (D) A、A(B B、( C、AB=B D、AB=B 例2若事件B与A满足 B – A=B，则一定有 (B) A、A=( B、AB=( C、A=( D、B==∩ =∪ 文氏图 事件与集合论的对应关系表： 记号 概率论 集合论 ( 样本空间，必然事件 全集 ( 不可能事件 空集 ( 基本事件 元素 A 事件 全集中的一个子集 A的对立事件 A的补集 A(B 事件A发生导致事件B发生 A是B的子集 A=B 事件A与事件B相等 A与B相等 A∪B 事件A与事件B至少有一个发生 A与B的并集 AB 事件A与事件B同时发生 A与B的交集 A-B 事件A发生但事件B不发生 A与B的差集 AB=( 事件A与事件B互不相容（互斥） A与B没有相同的元素 古典概型： 古典概型的前提是(={(1, (2, (3,…, (n,}, n为有限正整数，且每个样本点(i出现的可能性相等。 P(A)= 例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。 [解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|(|=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C3！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC)，另有一个杯子恰有1个球(CC)，所以|A2|= CCCC=36；则P(A2)=36/64 =9/16 ( 例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。 [解]：p1==, p2= = 古典概型基本性质： (1)非负性，对于任一个事件A，有P(A)(0; (2)规范性:P(()=1或P(()=0; (3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) 概率的公理化定义： 要求函数P(A)满足以下公理： (1)非负性，有P(A)(0; (2)规范性:P(()=1; (3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) 概率公式： 求逆公式 P()=1- P(A) 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A(B时，有P(A-B)=P(A)-P(B) 注意： A-B = A = A-AB = (A∪B)-B 条件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)0) P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中