专题一：用导数求切线方程的四种类.docVIP

PAGE 用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可． 例1　曲线在点处的切线方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 1解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 练习： 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在　　　　　　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案　B 2. 已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)f′(xB) B．f′(xA)f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 答案　B 2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是(　　) A．－4　　　　　　　　　 B．0 C．4 D．不存在 答案　B 10．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(　　) A．2 B．4 C．6＋6·Δx＋2·(Δx)2 D．6 答案　D 4．函数y＝sin2x的图像在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2) 答案　D 分析　将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的． 解析　∵y′＝2sinxcosx， ∴y′|x＝eq \f(π,6)＝2sineq \f(π,6)coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2) 2．曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点(－1，－eq \f(7,3))处切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．60° 答案　B 6．y＝x3的切线倾斜角的范围为________． 答案　[0，eq \f(π,2)) 解析　k＝y′＝3x2≥0. 8．设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) 答案　D 解析　由y′＝3x2－eq \r(3)，易知y′≥－eq \r(3)，即tanα≥－eq \r(3). ∴0≤αeq \f(π,2)或eq \f(2,3)π≤απ. 14．已知曲线C：y＝x3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程． 解析　将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． ∵y′＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(?x＋Δx?3－x3,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) eq \f(3x2Δx＋3x?Δx?2＋?Δx?3,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2， ∴y′|x＝1＝3. ∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. 14．求曲线y＝sinx在点A(eq \f(π,6)，eq \f(1,2))处的切线方程． 解析　∵y＝sinx，∴y′＝cosx. ∴y′|x＝eq \f(π,6)＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，k＝eq \f(\r(3),2). ∴切线方程为y－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)(x－eq \f(π,6))． 化简得6eq \r(3)x－12y＋6－eq \r(3)π＝0. 6．曲线y＝eq \f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3