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专题复习：高考数学新题型专练（1） 1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值; （Ⅱ）证明:； （Ⅲ）定理:若 均为正数,则有 成立 (其中．请你构造一个函数，证明： 当均为正数时，． 解：（Ⅰ）令得…2分 当时，　 　故在上递减． 当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分 （Ⅱ）由，有　即 故　．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证： 只要证： 设…………………7分 则 令得…………………………………………………….8分 当时， 故上递减，类似地可证递增 所以的最小值为………………10分 而 = == 由定理知: 故 故 即: .…………………………..14分 2、用类比推理的方法填表 等差数列中 等比数列中 答案： 3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： （i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 A．n B．n+1 C．n -1 D． 答案：D 4、若为的各位数字之和，如：，，则;记____ 答案：5 5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。 aaa a a a a aa a a aaaa a a a a （1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由； （2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小； （3）求点D到面SEC的距离。 （1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分 SABCDEFGH证明： S A B C D E F G H （2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA,AF//EG 而由SA面ABCD得SACD， 又ADCD，CD面SAD， 又SA=AD,F是中点， 面SCD,EG面SCD,面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分 (3)作DHSC于H， 面SEC面SCD,DH面SEC, DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 在RtSCD中， 答：点D到面SEC的距离为………………………14分 6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问： 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。 解（1） （2）先用累乖法得 得 7、在△ABC中，，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ①△ABC周长为10 ： ②△ABC面积为10 ： ③△ABC中，∠A=90° ： 则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号、、填入） 答案： 8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 1 3 2 填写下列的表格,其三个数依次为 x 1 2 3 g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 答案：D 9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下： 当时，； 当时，。 则函数的最大值等于（ C ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1 C. 6 D. 12 10、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则_____________；使成立的x的取值范围是_____________ 答案：2 11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究： （I）首先选取如下函数： ，， 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为（－1，－1） 与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1） 与其反函数的交点坐标为（），（－1，0），（0，－1） （II）观察分析上述结果得到研究结论； （III）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II）和（III）。 解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上 2分 （III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有