《线代第二章矩阵习题课》课件.pptVIP

* 第二章 矩阵习题课 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 * 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 * 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足 * 数乘满足 数与矩阵相乘： 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 矩阵与矩阵相乘： 设 规定 其中 * 乘法满足 矩阵乘法不满足：交换律、消去律 * A是n 阶方阵， 方阵的幂： 方阵的多项式： 并且 （m,k为正整数） 方阵的行列式： 满足: * 转置矩阵: 一些特殊的矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 满足： 对称矩阵和反对称矩阵： 幂等矩阵： 为n阶方阵，且 * 伴随矩阵： 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 * 3. 逆矩阵 定义： A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论： 设A、B为同阶方阵，若 则A、B都可逆，且 * 满足规律： 逆矩阵求法： （1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法 　　分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵 * 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 初等变换 逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． * 矩阵的等价： 初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。记作 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 6. 初等矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 * 7. 初等矩阵与初等变换的关系： 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理： * 8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1： 推论2： 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 * 即， * 9. 解矩阵方程的初等变换法 或者 * 矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算 二. 典型例题 1. 矩阵的基本运算 例1：设矩阵 求与A可交换的所有矩阵。 分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求 解：设所求矩阵为 由 得 其中a，b为实数 * 例2：设 求 的行列式。 分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解： * 例3：设 4 阶方阵 其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 求行列式 分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求 解： * 2. 方阵的幂 例4：设 求 解： （递推法） 所以，当 时 当 时 * 例5：已知 求 与 解： * 又 * 3. 逆矩阵的求解、证明 例6:　求A的逆矩阵． 解： * 注意:　用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换． * 4. 矩阵方程 例7: 解矩阵方程 其中 均为可逆矩阵。 注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。 矩阵方程 解 * 例8: 解： （用初等变换法） 例9：书p68 2.14 * 5. 矩阵的分块运算 例10：(书p70 2.21) 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求 解：设所求逆矩阵为 则 * 例11: * 解: （１）根据分块矩阵的乘法，得 （２）由（１）可得 谢谢！