关注特殊四边形中的最值.docVIP

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 6 页 关注特殊四边形中的最值 与特殊四边形有关的最小值（或最大值）问题，是特殊四边形计算问题的重要题型，它已成为中考中一道靓丽的风景线，现举几例供同学们参考. 一、求两线段和的最值 ADEPBC图1例1 如图1，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，则的最小值为________. A D E P B C 图1 解析：连接BP，由正方形的轴对称性知，PD=PB，由“两点之间，线段最短”知，当点P在线段BE上时，PB+PE最小，也即PD+PE最小，此时PD+PE=BE.因为△ABE为等边三角形，所以BE=AB.又因为正方形ABCD的面积为12，所以AB=，PD+PE最小值为. 说明：求两条线段和的最小值问题，通常是根据轴对称的性质，把两线段的和转化为某两点之间的连线，再运用“两点之间，线段最短”的性质求解. 二、求周长的最值 图2ABE图3DC例2如图2，将两张长为8，宽为2 图2 A B E 图3 D C 解析：当两个矩形的一条对角线完全重合时，重叠部分的菱形的周长最大，如图3，这时只要求得菱形的边长即可.设BE=x，则AE=8-x,在Rt△ABE中，由勾股定理，得22+（8-x）2= x2.解得x=.所以菱形周长的最大值为. 说明：在解决与特殊四边形有关的计算问题时，经常要用到方程思想. 三、利用最值解题 图4例3 如图4，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD的边AP上的高为______. 图4 解析：如图5，延长AB到A′，使BA′=AB，连接D A′交BC于点P，作DE⊥BC于E，DF⊥AP于F.由轴对称的性质及“两点之间，线段最短”知，此时的点P，使得PA =PA′，PA+PD取得最小值，其值为线段A A′的长. ABCDPEFA′图5因为梯形ABCD为直角梯形，所以四边形ABED为矩形，所以DE=AB= BA′，BE=AD=2，EC=3.又∠PBA′=∠PED=90°，∠BPA′=∠EPD，所以△BPA′≌△EPD，所以PA′=PD=PA，PE=PB=1.在Rt△CDE中，因为DC=5,EC=3,所以DE=4.在Rt△DEP中，因为DE=4,PE=1，所以AP=DP=.在△APD中，由三角形面积公式，得 A B C D P E F A′ 图5 说明：本题以两线段和的最小值为载体，很好地考查了直角梯形的性质、轴对称的性质、全等三角形及勾股定理等诸多知识点，具有较强的综合性.解题的关键是确定使PA+PD取最小值的点P的位置. 利用勾股定理确定最短问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1（恩施自治州）如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A 图2 5 20 15 10 C A B 图1 ③ ② ④ ① 分析　根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条. 解　依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图2所示的4种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的＝5，图②中粗线的长度为的＝25，图③中粗线的长度为的+5＝10+5，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35＞5＞10+5＞25.故应选B. 说明　在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 例2（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm. 图2 图2 B A B A 6cm 3cm 1cm 图1 分析　要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解. 解　如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝＝10，即所用细线最短为10cm. 若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+