解析几何第一章 第二节.pptVIP

* * * * 1.2 标架与坐标 1.2.1 标架，向量与点的坐标 空间中任意三个有序的不共面向量 称为空间中的一组基. 任意空间向量 可以用 线性表示，即 有序的三实数组 称为向量 在基 下的坐标或分量，记为 定义1.2.1 空间中一个点O 和一组基 合在一起叫做空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称为标架，记作 ,其中O 称为原点， 叫做坐标向量. 空间中任意向量 在基 下的坐标也称为 在仿射标架 中的坐标. 现对空间中的点引入坐标. 空间中任意点 P 与向量 一一对应， 叫做点 的位置向量或向径. 向量 在基 坐标. 因此在 点 的坐标为 下的坐标 称为点 在仿射坐标系 中的 中, 空间中取定一个标架后，由定理1.1.5知，空间中全体向量的集合与全体有序三实数组的集合之间建立了一一对应关系；并且通过位置向量，所有空间点组成的集合与全体有序三实数组的集合之间也建立了一一对应. 图1.17 将右手四指(拇指除外)从 轴方向弯向 轴方向 (转角小于180°)，如果拇指所指的方向与 轴方向在 平面同侧，则称此坐标系为右手系，否则为左手系 （参见图1.18）. 设 为空间的一个标架. 过原点 分别以 为方向的有向直线分别称为 轴、 轴和 轴，统称为坐标轴.由每两条坐标轴所确定的平面叫做坐标平面，它们分别是 平面， 平面， 平面. 三个坐标平面把空间分成8个部分，称为8个卦限(图1.17). 在每个卦限内，点的坐标的符号是不变的. 定义1.2.2 如果 都是单位向量，并且两两垂直，则 称为笛卡儿直角标架或笛卡儿直角坐标系，简称为直角标架与直角坐标系. 图1.18 习题2. 给定直角坐标系，设点 的坐标为 , 求它分别对于 面， 轴和原点的对称点的坐标. 显然直角坐标系是特殊的仿射坐标系.点(或向量)在直角坐标系下的坐标叫做它的直角坐标, 在仿射坐标系中的坐标叫做仿射坐标. 约定： 空间直角坐标系中的坐标向量 改写为 ，并用 来记右手直角坐标系. 类似地，可定义平面上的仿射标架和直角标架等概念. 命题1.2.1 取定标架 . 对于任意向量 及任意实数 ，有 1.2.2 用坐标作向量的运算 1.用向量的分量进行向量的线性运算. 证明 (1) 所以 的坐标是 用同样的方法可证(2)与(3). , 2 用向量的起点和终点的坐标表示向量的分量. 命题1.2.2 设向量 的起点 与终点 的坐标分别为 ,则 事实上，根据命题1.2.1，(2)，我们有 (1.2.1) (1.2.2) 这里我们约定：当分母为零时，分子亦为零. 3 两向量共线、三向量共面的条件.  命题1.2.3 在仿射坐标系 中, 两个非零向量 共