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新北市 102 學年度國民中小學科學展覽會作品說明書 組 別：高中組 科 別：數學科 作品名稱：神魔轉珠-立體數字推盤遊戲 之一般化情形研究 關 鍵詞： 逆序數 、奇偶性 、機率 編 號： 2 摘要 「神魔之塔」是一款熱門的手機遊戲 ，此遊戲促使玩家不斷思考 ，能否指定一顆「移動 棋子」後，依遊戲規定的移動方式，將所有棋子按玩家意願重新排列？本研究由此遊戲出發， 從平面棋盤延伸至立體棋盤，討論r s t 的棋盤中，在 「不同移動方式」、「不同移動棋子」 及「是否出現相同顏色棋子」等各種情形下 ，隨機兩個棋子排列方式能成功轉換的充分且必 要條件。 在經過一番動手操作之後，發現其遊戲方式近似於經典遊戲「15puzzle 數字推盤遊戲」， 此意指若將所有的棋子編號，同時將「移動棋子」看成「空格」，則「神魔之塔」即為「15puzzle 」 的一種變形玩法 。 查閱文獻發現，可利用「逆序數之和」與「空格顏色」判斷「15puzzle 」是否有解，但「15 puzzle 」中每個棋子編號均不同，且僅能移動空格，而本研究欲討論一般化情形，因此在研究 過程中先證明所需要的定理，再利用 「改寫數字」的想法 ，得到一般化立體數字推盤遊戲有 解的條件，以下兩點為本研究的兩個重要結論 ： 結論一、在r s t 立體棋盤中，若 棋盤格子總數  棋子顏色數  2 ，則不論移動     哪個棋子，必能以「上下左右」的移動方式，將所有棋子作任意的順序排 列。 5 6 1 「神魔之塔」的遊戲棋盤大小為 ，棋子顏色共有6 種，由結論一可 知，不論移動哪個棋子，必能將所有棋子按玩家意願重新排列 。 結論二、在r s t 立體棋盤中，若移動方式包含「斜轉」，則棋盤中不論有無相同顏 色的棋子，均能隨意移動任一棋子，將所有棋子作任意的順序排列。 下方的表格列出r s t 立體棋盤中，在移動方式為「僅能上下左右前後」時的各種結論： 棋子顏色 移動棋子 不同棋盤狀態可互換的機率p 1 僅能指定一個棋子 p 2 r s t r s t 能使用所有棋子 ( )! ( )! 2 2 均不同 (棋盤格子總數：偶數) p 1 (r s t)! r s t 1 r s t 1 能使用所有棋子 ( ) !  ( )! 2 2 (棋盤格子總數：奇數) p