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对一道几何题解法探究及思考 　　[摘 要] 几何动态中的最值问题是初中生较难解决的一类问题，本文通过对一道试题多种解法的探究，让学生从多个角度去认识问题，洞悉问题的本质，使学生突破思维障碍，开阔思路，激发学习数学的兴趣. 　　[关键词] 几何动态；最值；解法探究 　　试题呈现 　　（2016年江阴市某校月考卷第18题）如图，Rt△ABC中，AB=AC=4，D为BC中点，E是线段AD上任意一点，将线段EC绕着点E顺时针方向旋转90°，得到线段EF，连接DF，则DF的最小值是______. 　　解法探究 　　1. 利用旋转找相似关系 　　解法1：如图2，连接CF，BF，延长BF、AD交于点G. 　　因为线段EC绕着点E顺时针方向旋转90°后得到线段EF，所以∠ECF=∠EFC=45°. 　　由Rt△ABC中AB=AC=4，得∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ACE=∠BCF. 　　又因为，所以△BCF∽△ACE，则∠CBF=∠CAE=45°. 　　当点E运动至点A，点F与点B重合；当点E运动至点D，点F与点G重合，所以点F在线段BG上运动. 　　根据垂线段最短知，当DF⊥BG时，DF的值最小，易求得最小值为2. 　　2. 利用旋转找全等关系 　　解法2：如图3，延长AD至点H，使DH=CD，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G. 　　易证△CDE≌△EGF，则FG=ED，EG=CD=DH，所以GH=DE=FG，故∠FHG=45°. 　　所以点F在线段BH上运动. （下同解法1） 　　解法3：如图4，过点E作AC的垂线交AC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，连接BH. 　　易证△CGE≌△EHF，则EH=CG. 由∠GAE=∠AEG=45°得EG=AG，所以HG=AC=AB. 　　又因为AB∥HG，所以可得四边形ABHG是矩形，则有∠ABH=∠BHG=90°，故B，H，F共线，∠CBF=45°. （下同解法1） 　　解法4：如图5，在CD上截取DG=DE，延长AD至点H，使DH=CD，连接EG，FH. 　　易证△CDE≌△HDG，则HG=CE=EF，∠DHG=∠DCE=∠FEH，所以EF∥HG，所以四边形EFHG是平行四边形，因而FH∥EG，故∠EHF=∠GED=45°. （下同解法1） 　　3. 利用函数描述点的运动轨迹 　　解法5：如图6，以BC所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG. 　　设F（x，y），则DE=FG=-x，DG=-y，又DG=EG-DE=CD-DE=2+x，所以-y=2+x，即y=-x-2.所以点F在线段y=-x-2（-2≤x≤0）上运动. （下同解法1） 　　4. 利用轴对称寻找数量关系 　　解法6：如图7，连接BE，BF. 　　设∠DCE=α，∠ACE=β，由轴对称性知∠EBC=α，∠ABE=β，则∠BEC=90°+2β，∠BEF=∠BEC-∠CEF=2β，∠EBF=90°-β，所以∠DBF=∠EBF-∠DBE=90°-β-α=45°. （下同解法1） 　　5. 构建函数求最值 　　解法7：如图8，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG. 　　设FG=x，则ED=x，DG=2-x，由FD2=FG2+DG2得FD2=2（x-）2+4，当x=时，FD的最小值为2. 　　评注 笔者将此题作为课外作业让学生去完成，在学生的解法中出现了解法1、6、7，但用这三种方法解答的学生不多.有些学生是用画图的方法去猜点F的运动路径. 可能是填空题的原因，不少学生没有用合情推理或演绎推理的方法去认真思考和分析. 　　思考 　　1. 对问题的再思考 　　与此题类似的试题还有很多，如2012年北京卷第24题：在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. 　　（1）若α=60°且点P与点M重合（如图9），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； 　　（2）在图10中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； 　　（3）略. 　　这题可以看作是将上题中的90°角作一般化处理，但保留了图形中的数量关系.不难发现当α确定，点P在运动过程中，点Q始终在一条直线上运动. 　　笔者通过对比，发现其中隐藏着一个本质的东西，从中提炼出一个数学模型：如图11，点P是线段AB的垂直平分线CD上的一个动点，连接BP，将BP绕点P顺时针旋转α，则点Q一定是在