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对一道安徽中考试题探究 　　笔者有幸参加了2015年安徽省滁州市中考数学试卷的阅卷工作，对所阅第20题感触颇深，现将阅卷过程中的发现与感悟撰写成文，以期与同行共同探讨. 　　题目20.在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值. 　　一、试题分析 　　1.题目虽以圆为基本图形，但又可以绕开圆的知识点，跳出“圆形”，另辟蹊径，以考生最熟悉的直角三角形的知识（三角函数、勾股定理）来求线段的长度，若考生以圆为出发点，试图用圆的知识来解答则较为繁琐，使得此题看似简单，要得满分却十分不易. 　　2.试题起点低，落点高.题（1）主要考查了三角函数和勾股定理的基础知识，以及简单的几何推理能力；题（2）虽也着重考查了“双基”，但又不局限于此，同时还具有一定的思维探索性与应用性，考生只有在理解题意的基础上，结合图形的特征，将求PQ长的最大值，转化为求OP长的最小值，然后根据垂线段最短来做出完整解答. 　　3.试题考查了考生分析处理图形的能力，此题要求考生依据图形的特征，能从较为复杂的图形中去寻找、发现其所构成的基本图形，从而将复杂的图形简单化、基本化，为寻找解题的突破口创造条件. 　　二、考生的典型解法 　　1.解法一（1）因为OP⊥PQ，PQ∥AB， 　　所以OP⊥AB，在Rt△OPB中， 　　OP=OB?tan∠ABC=3?tan30°=3. 　　如图3，连接OQ，在Rt△OPQ中， 　　PQ=OQ2-OP2=32-（3）2=6. 　　（2）因为PQ2=OQ2-OP2=9-OP2， 　　所以当OP最小时，PQ最大.此时OP⊥BC， 　　OP=OB?sin∠ABC=3?sin30°=32， 　　所以PQ长的最大值为9-（32）2=332. 　　解法二（1）同解法一. 　　（2）如图4，作PM⊥AB，设PM=x， 　　因为∠ABC=30°，所以MB=PMtan30°=3x， 　　OM=OB-MB=3-3x. 　　在Rt△OPM中， 　　OP2=OM2+PM2=（3-3x）2+x2=4x2-63x+9， 　　在Rt△OPQ中， 　　PQ2=OQ2 -OP2=32-（4x2-63x+9） 　　=-4x2+63x=-4（x-334）2+274. 　　所以，当x=334时，PQ2的最大值是274， 　　所以PQ长的最大值为274=332. 　　解法三（1）如图5，延长QP交⊙O于点M，连接BM、CQ、CA. 　　因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°， 　　又因为AB=6，∠ABC=30°， 　　所以BC=AB?cos30°=33. 　　因为PQ⊥OP，PQ∥AB，所以OP⊥AB. 　　在Rt△OPB中，PB=OBcos∠ABC=OBcos30°=23， 　　所以PC=BC-PB=33-23=3. 　　在⊙O中，因为OP⊥PQ，所以PQ=PM. 　　因为∠QCB =∠QMB，∠QPC=∠BPM， 　　所以△CPQ∽△MPB，所以PQPB=PCPM， 　　所以PQ2=PC?PB=3×23=6，所以PQ=6. 　　（2）由（1）知△CPQ∽△MPB，所以PQPB=PCPM. 　　设PQ=PM=y，PC=x，则y33-x=xy. 　　所以y2=x（33-x）=-x2+33x 　　=-（x-332）2+274， 　　所以当x=332时，y2的最大值是274， 　　所以PQ长的最大值为274=332. 　　2.解法评析 　　此题解法一是评分标准提供的解法，也是大部分考生选择的主流解法，运用解直角三角形和勾股定理的知识将问题解决简单化.解法二利用求二次函数的最值来确定PQ长的最大值，考生的思路清晰，是对初中函数知识的深刻理解与灵活运用的较好体现.解法三通过重新构造图形的方式来寻找解题思路，这部分考生对图形结构特征进行了深度发掘，运用了圆、直角三角形、相似三角形、二次函数等相关知识，需要考生具有较强的综合运用数学知识解决问题的能力，解题思路明显较为复杂，虽然有少数考生正确地求解出答案，却将问题解决复杂化了. 　　三、典型错误分析 　　1.在题（1）的解答中有考生出现这样的错误：“因为PQ∥AB，所以∠OQP=∠ABC=30°”、“因为PQ∥AB，所以△PQO∽△OBP”.考生对平行线的性质、相似三角形的判定这些基础知识掌握不扎实，导致解答出现错误. 　　2.在题（1）的解答中没有从已知条件“PQ∥AB，OP⊥PQ”推出∠POB=90°，而是将∠POB=90°直接作为已知条件来应用，致使解题过程不完整，证明不够严谨.