正切函数的定义图像与性质教学设计.docVIP

延川中学教学设计 NO:___ 年级_______ 学科_____ 第____周 第____课时 课题 正切函数的定义、图像与性质 课型 新授课 三维目标 三维目标 1、知识与技能 （1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.过程与方法 类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。 3.情感态度与价值观 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 重点难点 重点难点 重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学 方法 合作探究、讲练结合、 教学过程 备注 【创设情境】 常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。 【探究新知】 正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z. 比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。 下面，我们给出正切函数值的一种几何表示. 如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α xy x y o T A 210? 30? 的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； P当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。 P 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两 个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此， 我们称有向线段AT为角α的正切线。 2．正切函数的图象 （1）首先考虑定义域： （2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ∴的周期为（最小正周期） xy（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。 x y O O 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线” 0 0 y x 从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线 3．正切函数y＝tanx的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：， （2）值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，。 （3）周期性： （4）奇偶性：奇函数。 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增。 4.正切函数的诱导公式 0yx观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－ 0 y x 我们可以归纳出以下公式： tan(2π＋α)＝tanα tan(－α) ＝－tanα tan(2π－α)＝－tanα tan(π－α) ＝－tanα tan(π＋α) ＝tanα 【巩固深化，发展思维】 例1．若tanα＝，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 解：∵tanα＝＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝可知，角α终边上必有一点P（3，2）. 所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝ ∴sinα＝＝， cosα＝＝. (2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝＝－， cosα＝＝－. 例2．化简： 解：原式＝ ＝ ＝－. 【归纳整理】 （1）请学生回顾本节课所学过