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数据、模型、决策 DMD 统计学 第1章 事件与概率 概念 事件 随机事件 定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫 “随机事件”, 简称“事件”. 记作A、B、C等 性质 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 两种特例 必然事件 在一定条件下，每次试验都必然发生的事件 比如事件{出现点数不超过6} 不可能事件 在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件 不可能事件是一个空集（Φ） 比如事件{出现点数为8} 基本事件 样本点 不可能再分成为两个或更多事件的事件 样本空间 基本事件的全体（全集） 概率 概念 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 性质 必然事件的概率为1，表示为P (Ω )=1 不可能事件发生的可能性是零，P(Φ )=0 随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1 三种定义 下面概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途径 古典定义 古典概型（等可能概型） 比如抛骰子试验 特点 每次试验的可能结果有限(有限性) 每个试验结果出现的可能性相同(等可能性) 公式  统计定义 当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率￡ 计算概率的统计方法 当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法） 频率方法  数学定义 概率P是一个集合函数，满足 非负性 对任意事件A，有 0 ≤ P(A)≤ 1 规范性 必然事件的概率为1 P (Ω )=1 不可能事件的概率为0 P(Φ )=0 可加性 若A与B互斥，则：P ( A+B ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有： P ( A1+A2 +… +An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An ) 概率的计算 概念 简单问题的概率一般可以直接根据定义计算，但复杂问题的概率需要借助有关法则和公式来完成 两个法则 加法法则 用于求P(A+B)——“A发生或B发生”的概率 互斥事件   互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件 公式  例如 例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 相容事件 性质 两个事件有可能同时发生 有公共样本点 公式  例题 某公司有100名员工，男员工中，15名是管理人员，45名是普通员工，女员工中，5名是管理人员，35名是普通员工。 从公司中任取一人，求 此人是管理人员的概率； 此人是普通员工的概率. 按”互斥事件“分析 按”互补事件“分析 图表分析 频率方法 乘法法则 用于计算两个事件同时发生的概率。 —也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 条件概率 定义 在某些附加条件下计算的概率 在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B) 公式  其中 P(B) 0 性质 P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率 即在样本空间?中考虑的条件概率P(A|B)， 就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了 公式  特例 如果事件A与B相互独立,即A的概率与B发生与否没有关系, B的概率与A发生与否没有关系,那么P(AB)=P(A)P(B). 例子 抛硬币试验 公司员工 图表法 第2章 随机变量及其分布 随机变量 定义 表示随机试验结果的变量 性质 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z...来表示， 具体取值则用相应的小写字母 如x、y、z…来表示 分类 离散型随机变量 取值可以一一列举 连续型随机变量 取值不能一一列举 随机变量的概率分布 离散型 定义 X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。 性质   例子 表示 概率函数  分布列  分布图  分布函数  连续型（概率密度） 表示 数学函数 概率密度函数f (x) 性质 （1） f (x)≥0。概率密度是非负函数。 （2）  所有区域上取值的概率总和为1。 随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：  分布函数F (x) 定义 F(x)＝P{X≤x}  与概率密度函数的关系  图形 概率密度曲线 分布函数曲线 性质 概率密度函数f (x)的函数值不是概率。 连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率 ——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示 数字特征 数学期望 定义 又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置 分类定义 离散型随机变量 X  连续型随机