苏州大学离散数学试题2014-03（2014_12_26）_参考 答 案与评分标准.docVIP

PAGE 苏州大学 离散数学 课程试卷（ 3 卷） 参考答案与评分标准 （共 7 页） 名词解释： （10分） 1、群：设是一个代数系统，其中是非空集合，*是上一个二元运算， 如果满足：（1）运算*是封闭的；（2）运算*是可结合的；（3）存在幺元； （4）对于每一个元素，存在它的逆元。则称是一个群。 2、整环：设是一个代数系统，如果满足： （1）是阿贝尔群；（2）是可交换的独异点，且无零因子； （3）运算 对于运算是可分配的。则称是一个整环。 3、分配格：设是由格所诱导的代数系统。如果对任意的 满足：（1）；（2） 则称是分配格。 4、同余关系：是一个代数系统，并设R是A上的一个等价关系。 如果当时，有。 则称R为A上关于运算的同余关系。 5、布尔表达式: 设是一个布尔代数，并且在这个布尔代数上定义布尔表达式如下：（1）A中任何元素是一个布尔表达式；（2）任何变元是一个布尔表达式；（3）如果和是布尔表达式，那么，和也都是布尔表达式。 第一题评分标准: 若答出要点，不再扣分了，出错适当扣分。 二、 证明： (10分） 证明：右边= (1) （2） （3） （4） （5） =左边 （6） 第二题评分标准: (2)(3)(4)(5)各2分，(1)(6)各1分，出错折半给分。 三、求命题公式的主析取范式和主合取范式。（10分） 解： (Q→P)∧R = = 第三题评分标准: 写出主析取范式得6分，写出主合取范得4分，没有具体写出大项扣1分。也可以用真值表方法求解。 四、令是一个复合函数，证明： 如果和是双射，那么是双射。（10分） 证明：设，则 如果和是双射，则和既是满射又是入射。 （1）对任意，因为是满射，所以必有，使得， 又因为是满射，所以必有，使得 从而，对任意，必存在，使得， 因此，是满射。 (2)令，假设，由于是入射，所以有， 又因为是入射，所以有，即： 于是 因此，是入射。 第四题评分标准: 证明正确给10分，满射与入射证明各为5分，出错折半给分。 五、形式化以下命题，并用推理规则证明其结论。 如果一个人怕困难就不会获得成功；所有的人或者是获得成功的或者是失败的；存在着没有失败的人。所以，存在着不怕困难的人。（注：假设论域为人）（10分） ? 证：设怕困难。获得成功。失败。 则： （1） P （2） ES（1） （3） P （4） US（3） （5） T（4），E （6） T（5），I （7） T（2），（6），I （8） P （9） US（8） （10） T（7），（9），I （11） EG（10） 第五题评分标准: 正确写出谓词得2分，正确写出要证明的谓词公式再得2分，谓词演算正确得6分。出错折半给分。（注：不用异或用析取也算正确），另外，把失败看成是成功的否定，少用一个谓词也算正确。 六、设和都是从群到群的同态映射，证明是群的一个子群，其中， (10分) 证明：显然，对任意的，则有，。 因为和都是同态映射，所以有 又因为 所以 由此可得： 即，因此是群的一个子群。 第六题评分标准: 证明过程完全正确得10分，从错处折半给分。 用其他方法（比如群的定义，满足4个条件）证明正确也可以。 七、设是一个群，而，如果是从到的映射，使得对于每一个，都有，试证明是一个从到的自同构。(10分) 证明：对于任意的，若，则， 所以f是G到G的入射。 （1） 对于任意的，由封闭性得，令， 即对于任意的必存在， 使得。 所以f是G到G的满射。 （2） 另外，对于任意的，有 （3） 因此，f是一个从G到G上的自同构。 第三题评分标准: （1）和（2）证明正确各得3分， （3）证明正确得4分，证明过程完全正确满分，出错适当扣分。 八． 设为从群到群的同态映