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第五章:电子阻止本领 从上个世纪三十年代,就发展研究电子阻止本领，但至今仍是一个较活跃的研究课题。 研究电子阻止本领涉及到量子、多体效应、比较复杂。 不同的理论方法： 1、量子力学的微动理论（高速情况） 2、线性介电响应理论 3、量子散射理论 4、半唯象理论 5、经验公式 4.1 高速离子的电子阻止本领 ——量子力学扰动理论 1、非弹性散射截面 在如下讨论中，将入射粒子和靶原子看作是一个系统． t=0时，入射粒子的哈密顿为 ,靶原子哈密顿为 ，它们之间不发生相互作用。系统的总哈密顿为： 碰撞前，体系的本征函数为： 本征值为： t0时，入射粒子与靶原子发生相互作用，相互作用势为 ，哈密顿为： 满足的薛定鄂方程为 将 按 的本征态展开： 利用 正交归一性，则得： 跃迁频率： 相互作用矩阵元： 注意： 线性扰动: 设 与 相比是个小量,则作如下近似: 取 且 从 到 的跃迁几率: 当 (长时间行为)时,有 其中 表示能量守恒: 入射粒子散射到单位立体角中的几率: 散射以后系统的能量： 由 则得： 其中 将跃迁几率对dEn积分，则得： 此外，由入射粒子的通量: 一阶Born近似下的散射微分截面为: 2.Bethe-Bloch公式 原子:从 跃迁 态,得到能量为 则入射粒子穿过单位长度内,由于同靶原子 发生非弹性碰撞而损失的能量为: 如何计算跃迁矩阵元 设入射粒子为裸离子,它与靶原子的相互作 用势为: 可以得到 利用靶原子的本征波函数的正交和归一性性 以及 可以得到： 其中： 电子的阻止本领可以写成: 注意: 再经过一系列化简后，最后得到Bethe-Bloch 公式： 其中I为靶原子的平均激化电离能： 为偶极振子强度 讨论 Barkas效应: 由于Bethe-Bloch公式是在一阶Born近似下得到的, 得到的电子阻止本领正比于入射离子电荷数的平方 这说明正离子和负离子的能量损失一样. 但早在上个 世纪50年代, Barkas观察到:?+ 粒子在物质中的能量 损失比?- 粒子的能量损失大. 在二阶扰动近似下,将有: (2) 计算平均电离能 需要知道原子的本征函数和本征能量.只有对于氢原 子和简谐振子,可以精确地计算 对于氢原子: 对于简谐振子: 对于其它原子,必须采用Hartree-Fock 方法进行计算, 或实验测量. 4.2 线性介电响应理论描述 一、介电响应理论 金属中的原子 这样金属材料可以看成是：由不动的离子晶格和 自由移动的电子气组成 对于一般的金属材料和半导体材料，电子 气的密度为： 电子气在入射离子的扰动下，其密度分布发生， 产生感应电场 由于离子是运动的，在它前面聚集的电子要比在 它后面聚集的电子少，从而使得纵向感应电场的 方向与入射离子的运动方向反向。 离子要向前运动，必须克服感应电场的阻力 而损失能量。 入射离子的空间电荷分布： 入射离子的运动方程： 利用 ， 则有： 如何确定感应电场？ 在入射离子周围，电子气中的总电场为： 引入电势 ，则Poisson方程： 如何确定感应电荷分布： 线性介电响应理论：感应电荷密度正比于外电荷密度 电子阻止本领： 可见：在介电响应理论模型中，对于给定入射速度 或能量的离子，电子阻止本领依赖于入射离子的速 度v, 电荷数 Z1 , 束缚电荷分布 和固体的介电函 数 。 二、电子气的状态参数 Fermi-Dirac分布 其中kF 是Fermi波数 Fermi速度： Fermi能量： 引入无量纲的参数： 对于一般的金属和半导体材料： 如 Au: rs=1.49； C: rs=1.56; Al: rs=2.06; Cs: rs=5.88 三、介电函数 自由电子气模型：不考虑电子之间的关联-交换相 互作用，仅考虑它们之间的库仑相互作用，则介电函 数为（Random-Phase Approximation, 简称 RPA.) RPA介电函数仅适用于 rs1 的情况。 局域场修正（Local-Field Correction）:包含电子 之间的关联-