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四个二次之间关系及其解题技巧渗透 　　“四个二次”即二次三项式、一元二次方程、二次函数、一元二次不等式，它们之间在初、高中数学里占有重要的位置，运用及其广泛。弄清“四个二次”之间的关系，对学生解题起着重要的作用。 　　一、四个二次之间的关系（a＞0） 　　二、可以见得上表“四个二次”之间的关系紧密相连，也就是说对于这四个事项，知其一，必知其三。现根据其关系解决具体问题： 　　例一 选择题 　　1.（1）已知：二次三项式2x2-3x-5（ ） 　　A、△＞0 B、△=0 C、△＜0 D、无法确定 　　（2）方程2x2-3x-5=0（ ） 　　A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 　　C、没有实数根 D、无选项 　　（3）函数y=2x2-3x-5的图像与x轴（ ） 　　A、有一个交点 B、两个交点C、无交点D、无选项 　　（4）不等式2x2-3x-5＞0的解集（） 　　A、（-1， ） B、（-∞，-1） C、（，+∞） D、（-∞，-1）∪（ ，+∞） 　　（5）不等式2x2-3x-5＜0的解集（） 　　A、（-1， ） B、（-∞，-1） C、（，+∞） D、（-∞，-1）∪（ ，+∞） 　　说明：已知二次三项式可以解决其它“三个二次”的有关问题。 　　2.已知二次函数y=4x2+4x+1的图像与x轴有一个交点 　　（1）一元二次方程4x2+4x+1=0根的情况（ ） 　　A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根 　　C、有两个相等的实数根 D、无实数根 　　（2）二次三项式4x2+4x+1的判别式（） 　　A、△＞0B、△=0C、△＜0D、无选项 　　（3）不等式4x2+4x+1＞0的解集为（） 　　A、 B、（-∞，-）∪（，+∞） C、RD、｛-｝ 　　（4）不等式4x2+4x+1＜0的解集为（） 　　A、 B、（-∞，-）∪（，+∞） C、RD、｛-｝ 　　说明：已知二次函数的图像可以解决其它“三个二次”的有关问题。 　　3.已知不等式2x2-3x+5＜0 　　（1）二次三项式2x2-3x+5的判别式的符号（） 　　A、△＞0B、△=0C、△＜0D、无选项 　　（2）一元二次方程2x2-3x+5=0根的情况（ ） 　　A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根 　　C、有两个相等的实数根 D、无实数根 　　（3）函数y=2x2-3x+5的图像与x轴的交点（） 　　A、有一个交点 B、两个交点C、无交点D、无选项 　　（4）不等式2x2-3x+5＞0的解集为（） 　　A、（-2，5） B、（-∞，-2）∪（5+∞） C、D、R 　　说明：已知一元二次不等式小于零情形可以解决其它“四个二次”的相关问题。 　　4.已知方程x2-5x+4=0 　　（1）二次三项式x2-5x+4的判别式的符号（） 　　A、△＞0 B、△=0 C、△＜0 D、无选项 　　（2）二次函数y=x2-5x+4的图像与x轴的交点（） 　　A、有一个交点 B、两个交点 C、无交点 D、无选项 　　说明：此题已知一元二次方程可以解决其它“三个二次”的有关问题。 　　例二 解答题 　　1.已知方程x2+3x+2=0， 　　（1）判断该方程有无实数根；若有，求出实数根； 　　（2）函数y=x2+3x+2的图像与x轴有无交点；若有交点，求其交点坐标； 　　（3）求不等式x2+3x+2＞0和x2+3x+2＜0的解集。 　　解：（1）△=32-4×1×2=1＞0∴方程有两个不相等的实数根，解方程x2+3x+2=0得两根为x1=-2，x2=-1。 　　（2）答：由四个二次之间关系，因为△＞0，所以二次函数图像与 轴有两交点，交点坐标为（-2，0）（-1，0）。 　　（3）由四个二次之间关系，得：x2+3x+2＞0的解集在一元二次方程两根之外，即：（-∞，-2）∪（-1，+∞），x2+3x+2＜0的解集在一元二次方程两根之外，即：（-2，-1）。 　　2.已知二次函数y=ax2+bx+c图像如图所示： 　　求：（1）判别式的符号； 　　（2）方程的根； 　　（3）不等式ax2+bx+c＞0和ax2+bx+c＜0 　　的解集。 　　解：由图像可知：抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（1，0）、（2，0），由四个二次之间的关系可知：（1）△=b2-4ac＞0，（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1,x2=2， 　　（3）不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2） 　　说明：此题有三个待定系数a、b、c，从二次函数图象上观察只知两个已知交点坐标，故只能用四个二次关系