高等数学（指导书）第10章无穷级数.docVIP

PAGE 282 PAGE 281 第十章 无穷级数 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 基本概念 基本概念 利用定义（部分和）收敛级数的 利用定义（部分和） 收敛级数的基本性质 常数项级数正项级数比较审敛法（包括极限形式） 常数项级数 正项级数 比较审敛法（包括极限形式） 比值审敛法 比值审敛法 审敛法根值审敛法 审敛法 根值审敛法 交错级数 交错级数：莱布尼茨定理 一般 一般项级数：绝对收敛与条件收敛 无穷级数 无穷级数 基本概念 基本概念 收敛半径与收敛域 收敛半径与收敛域 幂级数和函数（并由此求某些 幂级数 和函数（并由此求某些常数项级数的和） 函数项级数将函数展开成幂级数（泰勒级数） 函数项级数 将函数展开成幂级数（泰勒级数） 基本概念 基本概念 收敛性的判定：收敛定理（ 收敛性的判定：收敛定理（狄利克雷充分条件） 傅里叶级数 傅里叶级数 在对称区间上展开 在对称区间上展开 展开为傅里叶级数在区间 展开为傅里叶级数 在区间上展开 展开为正弦或余弦级数 展开为正弦或余弦级数 （二）学习要求 （1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件． （2）掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件． （3）掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法． （4）掌握交错级数的莱布尼茨审敛法． （5）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系． （6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念． （7）理解幂级数的收敛半径的概念、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法． （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和． （9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件． （10）掌握，，，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数． （11）了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式． 二、内容提要 （一）常数项级数 1．概念 （1）若级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，并称为它的和，记为；否则称它是发散的． （2）称级数≥为正项级数．称级数或（其中）为交错级数． （3）如果级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数发散，而级数收敛，则称级数条件收敛． 2．定理（性质） （1）几何级数： ， 当时收敛，其和为，而当≥时发散． （2）级数： （是常数）， 当时收敛；而当时发散．特别地，当时，调和级数 发散． （3）设级数和都收敛，则级数收敛．由此可知： a．若收敛，发散，则发散； b．若发散，发散，则收敛性不定； c．若与均绝对收敛，则绝对收敛； d．若绝对收敛，条件收敛，则条件收敛． （4）设级数收敛，为一个常数，则 a．收敛且．（若，则级数发散．） b．对中的项任意加括号后所得的新级数仍收敛．（如果对级数的项加括号后所得新级数发散，则原级数发散．） （5）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （6）如果级数绝对收敛，则级数必定收敛． 3．方法 （1）正项级数的审敛法： a．利用级数收敛的定义； b．利用级数收敛的充要条件：级数收敛部分和数列有界； c．比较审敛法； d．比值审敛法； e．根值审敛法； f．极限审敛法． （2）交错级数的审敛法：莱布尼茨定理． （3）一般项级数的审敛法：先转换为判别是否是收敛，若收敛，则原级数绝对收敛，然后判别是条件收敛还是发散． （二）函数项级数（主要讨论幂级数） 1．概念 （1）由定义在区间I上的函数列所构成的表达式： 称为定义在区间I的函数项级数，记为． （2）对于某个，如果收敛，则称是函数项级数的收敛点，收敛点的全体称为的收敛域；如果发散，则称是函数项级数的发散点，发散点的全体称为的发散域． （3）在收敛域上，函数项级数的和是的函数，记为，称为函数项级数的和函数，即有 ==，． （4）称为函数项级数的部分和，则在收敛域上有，称为函数项级数的余项． （5）形如 的函数项级数称为的幂级数，而形如 的幂级数称为的幂级数，其中称为幂级数的系数． （`6）如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个实数轴上都收敛，则必有惟一确定的正数存在，使得当时，幂级数绝对收敛，当时，幂级数发散，当与时，幂级数可能收敛也可能发散．此时称正数为幂级数的收敛半径．如果幂级数仅在处收敛，则它的收敛半径= 0