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《数值分析》模拟试卷（B） 一、算法分析（20％） 1、要使的近似值的相对误差不超过，应取几位有效数字？（5％） 解：设取n个有效数字可使相对误差小于，则 ， 而，显然，此时， ， 即， 也即 所以，n=5。 2、设近似值S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析用递推式计算S20所得结果是否可靠。（5％） 解：设计算Si的绝对误差为e(Si)=Si*－Si，其中计算S0的误差为ε，那么计算S20的误差为 e(S20)=S20*－S20＝（S19*－142.8）－（S19－142.8）=(S19*－S19) ＝e(S19)=e(S18)=……=e(S0) ，误差缩小，结果可靠。 3、判定解方程组的高斯－赛德尔迭代法的收敛性？（10％） 解： ， 因为 ， 所以ρ(BG-S)=21 所以高斯—赛德尔迭代法发散。 二、基本计算（30％） 1、用合理途径计算。（5％） 解：由小到大依次相加。 2、用秦九韶算法计算的值p(2)。（5％） 解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。 所以，p(2)＝48。 3、作矩阵的LU分解。（5%） 解：对矩阵 ， 设 先计算U的第一行，由矩阵乘法，有 再计算L的第一列，由矩阵乘法，有 然后计算U的第2行L的第2列，最后计算u33。 得 4、给定矩阵，求。(10%) 解：因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以的特征多项式为： ， 解之得。 所以。 5、已知x=1,2,3,4,5，对应的函数值为f(x)=1,4,7,8,6，求出插分表，写出相应的等距节点插值多项式。（5%） 解：作差分表如下： f(x) 一阶差分 二阶差分 三阶差分 四阶差分 1 3 4 0 3 －2 7 －2 1 1 －1 8 －3 －2 6 （下略） 三、数值计算（50％） 1、用高斯－赛德尔迭代法解（取）。（5％） 解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得 ， 据此建立迭代格式得 ， 取迭代初值进行迭代得 k x(k)1 x(k)2 x(k)3 0 0 0 0 1 1 2 -1 2 -5 9 -3 3 -23 29 -7 可见，高斯－赛德尔迭代法发散，求不出收敛的解。 注： ρ(BG-S)=21 所以，高斯－赛德尔迭代法发散。 2、试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足 (5%) 解：设插值多项式为 则 由插值条件得 解之得 所以 3、用最小二乘法求方程组的近似解。（10%） 解：设方程组中各个方程的一般形式为，则 对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0，得 将数据代入得 解之得 4、五等分区间用梯形法求数值积分，计算数据取小数点后两位数。（5%） 解：五等分区间时，梯形法积分公式为 将区间5等分，6个分点上的函数值为： x 0 0.2 0.4 y 1 0.96 0.86 x 0.6 0.8 1 y 0.74 0.61 0.5 所以，≈ 0.2× [0.5×(1＋0.5)＋0.96+0.86+0.74+0.61 ]=0.784 5、确定数值微分公式的系数，使它具有尽可能高的代数精度。（10%） 解：为了计算方便，令，把依次代入使其成为等式，得 解之得 所以 此公式对于不成立，故其代数精度为2。 6、用欧拉法求初值问题的数值解，取步长h=0.25，计小数点后保留2位。（5%） 解：将代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为： ，（） 取由初值y0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： 7、判断方程2x3-3x2-12x+25=0有几个实根，并求出其隔根区间。（10%） 解：令y=2x3-3x2-12x+25， y／=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2) 当y／=0时，有x=-1，x=2，而且函数没有不可导点。 显然，当x＜-1时，x+1＜0，x-2＜0，所以，y／=6(x+1)(x-2)＞0，同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下： x (-∞,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+∞) y／ + 0 － 0 + y 32 5 ∵y(-1)=32＞0，y(2)=5＞0， ∴在区间（-1,2）上方程无根。 又∵ y(2)=5＞0，函数在（2，＋∞）上又是单调增的，函数值不可能再变号， ∴在区间(2，＋∞)上方程也没有根。 ∵函数在（－∞，－1）上单调， ∴方程在该区间上最多有一个根。 而y(－2)＝21＞0，y(-3)=-20＜0， ∴方程在区间(－3，－2)内有一个根，区间(－3，－2)是方程的隔根区间。 所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一个根，隔根区间为