2018年湖南省高中数学联赛B卷 含答案模板.docVIP

2018年湖南省高中数学联赛（B）卷试题 第Ⅰ卷（共70分） 一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.设集合，，若则实数的图像关于点中心对称,那么的最小值为 ． 3. 如图，与上的定点与动点，角的始边为射线，终边为射线，过点的垂线，垂足为，将点的距离表示为的函数，则 4. 已知二面角为动点分别在面，内到的距离为，到，则两点之间距离的最小值为 ． 5. 如图，将一个边长为的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫． 设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第次挖去的中间小三角形面积，是第次挖去的三个小三角形面积之和）.则前次挖去的所有小三角形面积之和的值为 ． 6.若，则的值为的正方形沿为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点滚动时的曲线为，则在 8.四个半径都为的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 ． 9.设，，，则，函数表示对于，当的最大值），则的最小值为 ． 第Ⅱ卷（共80分） 三、解答题 （本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 11. 如图，四棱锥中底面，，，，为棱上的一点平面平面 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角的大小. 12. 棋盘上标有第站，棋子开始时位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站（胜利大本营）或第站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第站的概率为. （1）求的值； （2）证明：； （3）求，的值. 13. （1）已知是矩形所在平面上的一点，则有 . 试证明该命题； （2）将上述命题推广到为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明； （3）将矩形进一步推广到长方体，并利用所围成的封闭区域为. （1）求区域的面积； （2）设过点的直线与曲线交于两点，，求 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、解答题 11.解：以为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 设，则，.（1）证明：，，设平面的法向量为，由， 得到，，故，取则又设，则，, 设平面的法向量为，由，得到，故，，令则平面得到，，，故，取，则，故，又，故与的平面角，于是 ，所以二面角的大小为. 12.解：（1）棋子跳到第站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此. （2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有，即， 或即. （3）由（2）知数列，公比为的等比数列，因此有 .由此得到 . 由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有. 13. （1）证明：如图，设在直角坐标平面中，矩形的顶点坐标为 ，，，，点， ， 故. （2）推广命题：若棱锥的底面是矩形，则有 . 证明：如图，设棱锥的底面在空间直角坐标系的平面上,矩形的顶点坐标为，，，，设点坐标为，则 ， 故. （3）再推广命题：设是长方体，是空间上任意一点，则 . 证明：如图，由和. 14. 解：（1）由题设，有，因此.若，则当时，，此时 ，图像是两条直线段； 当，，，对应于一段二次函数的图像； 若，则当时，对应于二次函数图像的一段：； 当，，得到，无解. 综上所述，区域的集合为：，由区域上函数图像性质，知区域的面积为. （2）设过点的直线为，为了求的最大值，由区域的对称性，只需考虑直线与在的直线方程为，易知此时与相交时有. ①当时与分别相交于二次函数以及， 因此，，为关于的递减函数. ②当时与分别相交于二次函数以及直线，从图形性质容易看出，随着从，的值逐步减少. 综上，当经过直线与二次函数曲线交点时的值最大，此时直线方程为：,，的值为 .当落在轴上时， ，因此的最大值为. ..