不定积分计算的方法.doc

第一讲 定积分的概念 教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质 难　　点：无限细分和累积的思维方法 重　　点：微元法思想和定积分的基本性质 教学内容： 定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用． 一、问题的提出 1、曲边梯形的面积 在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题. a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b ?i O ?n ?1 ?2 y=f(x) x y 由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点. 在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为. 由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此, 这个小曲边梯形的面积 . 用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面积的近似值 . 可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近. 记，则当时，误差也趋于零. 因此，所求面积 . (1) 2、变速直线运动的路程 设物体作直线运动，速度是时间的连续函数，且. 求物体在时间间隔内所经过的路程. 由于速度随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式 来计算物体作变速运动的路程. 但由于连续，当的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割：用分点将时间区间分成个小区间 , 其中第个时间段的长度为，物体在此时间段内经过的路程为. (2) 求近似：当很小时，在上任取一点，以来替代上各时刻的速度，则. (3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得 . (4) 取极限：令，则当时，上式右端的和式作为近似值的误差会趋于0，因此 . (2) 以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究． 二、定积分的定义 定义 设函数在区间上有定义，任意用分点 将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，. 再作和 . 若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作. 即 . (3) 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限. 许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为，则在时间区间上，物体经过的路程为 . (4) 同理，上图所示的曲边梯形面积可表为 (5) 对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明： 1、在可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点在小区间上如何选取，只要，极限值总是唯一确定的. 哪些函数是可积的呢？可以证明（证明略）： 定理 在闭区间上连续的函数必在上可积；在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积. 2、定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即 ． 此等式的正确性在几何上是显然，因为对非负函数，这三个积分表示同一个平面图形的面积，只是坐标变量的记号不同而已，而这对面积没有影响. 3、定义定积分时已假定下限小于上限，为便于应用，规定当时， ． ． 此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号． 4、下面讨论定积分的几何意义： （1）、若，则积分表示如图所示的曲边梯形