不定积分二元函数定义域极限方向导数和梯度.docVIP

不定积分、二元函数的定义域、极限、方向导数和梯度 　　( 为常数 ) 还应熟悉以下性质 例题： 1．利用定积分的几何意义，说明下列等式： 解答： 表示的是：由轴，直线和直线所围成的三角形的面积是1。 表示的是：由轴，曲线和直线所围成的图形上下的面积相等。 2．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大： 解答：（1）因为在区因为在区间[0，1]上，，因此有： （2）在区间[1，2]上，，因此有： ⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。 若，则 ⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。 例题：估计积分的值： 解答：，因此 2.计算. 解答：当时收敛，当时发散； 当时收敛，当时发散。 ⒌掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。 由曲线和及直线围成的面积，有 　　对于对称区间上的定积分，要知道 　　当为奇函数时有　　 当为偶函数时有　　 例题：　1.计算正弦曲线y = sinx在[0,? ]上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：　. 其中L是抛物线上的点（0，0）与点之间的一段弧. 解答： 解答： 练习：求椭圆所围成的图形面积. 答案：。 6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分其中D是由直线、所围成的闭区域； (2) 其中D是由圆周所围成的闭区域. 解答：（1） （2） 二、二元函数的定义域 要求：会求二元函数的定义域 例题： 1．求下列各函数的定义域： 解答：（1）要使函数有意义必须满足： ，这样函数的定义域为：} （2）要使函数有意义必须满足：即 练习：求函数的定义域。 答案： 2． 解答：将分别代替原函数自变量的位置，通过计算我们得到：原式= 3． 解答：将分别代替原函数自变量的位置，通过计算我们得到： 原式= 练习：设=？ 答案：。 三．二元函数的极限 从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当时，恒有是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当时，恒有。但是在二元函数的极限中要比一元函数极限中复杂的多，对，x趋向的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对，P趋向的任意方式却是在平面上变化，因此要比多样化。 例如：沿着所有过的直线趋向是的一种特殊方式，又例如沿着所有过的抛物线趋向也只是的一种特殊方式，还有其他的的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。 例题： 1.求极限： 解答：（1）原式= （2）此题与上题不一样，因为当时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，即 。 练习： 答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为2， 四、方向导数和梯度 定理：若函数在点可微，则在点处沿任意方向的方向导数都存在，且 ++， 其中，，为方向余弦。 对于二元函数来说，相应的结果是 +， 其中是平面向量的方向角。 梯度的定义：若函数在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量 （，， ）为函数在点的梯度，记作： （，， ） 向量的长度（或模）为 例题： 1．求函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点的方向的方向导数. 解答：方向==，易见在点（1，2）可微，故由， ，及方向的方向余弦：， 所以函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点的方向的方向导数为 （）== 2．问函数在点（1，－1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值. 解答：因为在点的梯度方向是的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又，， ，所以是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是。 练习：函数在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数 解答：