数学25、数列求和及其综合应用（基础.pdfVIP

高考数学总复习导学9 25、数列求和及其综合应用（基础） 考纲要求 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a 与前n项和S 之间的关系式n n 3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数 列的前 项和的几种常用方法； 4. 能解决简单的实际问题. 知识网络 考点梳理 考点 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联 ， 而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓 度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关 数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限， 将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题. 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列 的极限存在与否等等. 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解 答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 典型例题 类型一：数列与函数的综合应用 1 1. 若数列 的相邻两项 、 是方程 的两根，又 ，求数列 的 前 项和 . 答案与 【解析】 由韦达定理得 ， ， ∴ ，得 ， ∴ 数列 与 均成等比数列，且公比都为 ， 由 ， ，得 , ∴ , (I)当 为偶数时，令 （ ）, . (II)当 为奇数时，令 （ ）， 2 . 类型二：数列与不等式 2. 设数列{a}的前n项和S 满足S ＝aS ＋a，其中a≠0. n n n+1 2 n 1 2 （I）求证：{a}是首项为1的等比数列； n （II）若a ＞－1，求证：S≤ (a＋a)，并给出等号成立的充要条件. 2 n 1 n 答案与 【解析】 （Ⅰ）证明：由S ＝aS ＋a得a ＋a ＝aa ＋a，即a ＝aa 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 因a≠0，故a ＝1，得2 1 又由题设条件知S ＝aS ＋a，S ＝aS ＋a n＋2 2 n+1 1 n＋1 2 n 1 两式相减得，S －S ＝a (S －S)，即a ＝aa ， n+2 n+1 2 n+1 n n＋2 2 n＋1 由a≠0，知a ≠0，因此 2 n+1