数学模型及典型案例分析1.pptVIP

年龄 群众关系 组合权向量为 目标层 准则层 方案层 7 数据的统计描述与分析 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象. 随机变量表示随机现象各种结果的变量。 研究对象全体的集合称为总体, 总体的一个基本组成单位, 即每一个数据称为个体, 总体可以认为包含无穷多个个体. 若干个个体称为样本, 若样本包含n个个体, 称n为样本容量. 为了从样本推断总体, 常常要构造样本的某种函数, 这种函数称为统计量. 统计量 平均值: 中位数: 排序后位于中间的数 标准差: 方差: 表示分布的中心位置 表示随机变量与中心的距离 统计量 偏度: 峰度: k阶原点矩: k阶中心矩: 反映分布的对称性 反映分布的集中程度 反映随机变量与原点的距离 反映随机变量与中心的距离 例 报童的决策 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为0.8，零售价为 1，退回价为0.75. 每天报纸的需求量是随机的. 假设已经得到159天报纸的需求量情况(如下表). 为了获得最大的利润, 该报童每天应购进多少份报纸? 需要量 100~119 120~139 140~159 160~179 180~199 200~219 220~239 240~259 260~279 280~∞ 天数 3 9 13 22 32 35 20 15 8 2 159天报纸需求量的分布情况 假设 报童天购进量为n, 平均每天收入为G(n). 设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c. 报纸每天的需求量r是随机的, 概率为f(r). 模型建立 报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量rn，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以 这就归结为已知a, b, c, f(r), 求n使G(n)最大. 将r视为连续量, 这时概率f(r)变为概率密度函数, 记为p(r). 则 令 , 得 p(r)的估计. 假设r是服从正态分布的随机变量, 即 利用表中的数据和最小二乘法可以得到μ和σ的估计μ=200, σ=37. 于是由 可以得到n的值. 取a=1, b=0.8, c=0.75解得n= 231.14≈231. 二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 二阶线性差分方程 xk+2+a1xk+1+a2xk=b, 的平衡点为方程x+a1x+a2=b的解x*. 若 , 则称平衡点x*是稳定的, 否则称x*是不稳定的. 其对应的齐次方程的特征方程为 λ2+a1λ+a2=0, 记它的要根为λ1, λ2, 则当且仅当|λ1|1且|λ2|1时平衡点x*是稳定的. 一阶非线性差分方程 若 f(x)为非线性函数, 形如 xk+1=f(xk), 的方程称为一阶非线性差分方程. 方程x=f(x)的解称x*为平衡点. 若 , 则称平衡点x*是稳定的, 否则称x*是不稳定的. 当 时, x*是稳定的. 当 时, x*是不稳定的. 例1 贷款还款问题 现有一笔p万元的贷款，贷款期是n年，年利率为r. 若采用等额本息（即每月还款数相同）的方式逐月偿还，问每月还款的数额是多少？ 假设 设第k个月欠款数为xk, 月还款m元，月利率为r1. 模型建立 根据还款及欠款的数量变化关系有 即 初始条件为 模型求解 直接求解得到 令xk=0, 求得 这就是每月还款数的计算公式. 例如, 当p=10000, r1=0 k=24时, m=444.3563, 总还款额10664.5508. 进一步讨论 若采用等额本金的方式逐月偿还(即每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减), 问各月份所需要偿还的金额是多少? 例2 养老保险 养老保险是保险中的一种重要险种, 保险公司为客户提供各种不同的方案以供选择. 请你分析保险品种的实际投资价值. 若某人从25岁起投保, 每月交费200元, 到60岁停止交费并开始领取养老金, 每月2282元. 求该投保人的收益率. 假设 设60岁前每月所交保费为p, 60岁后每月领取养老金为q. 交保费的总月数为n,领取养老金的总月数为m. 每月的收益率为r. 到第k月止所交保费及收益的累计总额为xk. 模型建立 根据xk的变化规律, 有 模型求解 易求得通解为 利用x0=0可得 当k=m+n-1时, xk=0, 因此 解此方程可得收益率r. 取p=200, q=2282,