高二数学选修1-3章末.pptVIP

导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学．它是研究函数、解决实际问题的有力工具． 如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题． 熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础． 掌握导数运算在判断函数的单调性，求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在实际问题中的最大(小)值问题中的作用． 通过本章的学习，深刻体会导数的思想和丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的应用． [例1]　求下列函数的导数 (1)y＝2tanx＋3cotx (2)y＝x·ex＋lnx [点评]　对于复杂函数的导数，可先化成基本初等函数，然后利用运算法则求导计算. 由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决． [分析]　因为切线与直线y＝－2x＋3垂直，可知其斜率，进而可由导数求出切点的横坐标． [点评]　根据导数的几何意义知，函数的导数就是曲线在该点的切线斜率，利用斜率求出切点的坐标，再由点斜式求出切线方程. ∴函数在(－∞，3)上是增函数． 当x∈(3，＋∞)时，y′0.函数是减函数． [例5]　已知f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时f(x)取得极值－2. (1)求f(x)的单调区间和极大值； (2)证明对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|4恒成立． [解析]　(1)解：由函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0. 因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c. 由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0， 故a＋c＝－2,3a＋c＝0. ∴a＝1，c＝－3.因此f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， f′(－1)＝f′(1)＝0. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)0，故f(x)在(－1,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝－2. (2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2， ∴对任意的x1、x2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)|M－m＝4. 要证不等式f(x)g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)． 只需证φ(x)0，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决． [分析]　可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意到题中x0这一隐含条件． [点评]　如果连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点，且在该点取得极大(小)值，那么这个极大(小)值就是最大(小)值. [例7]　用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． [分析]　应先理解题意把实际问题转化成求函数的最值问题，然后利用导数求最值． 由题意知x0，x＋0.50，且3.2－2x0. ∴0x1.6. 设容器的容积为Vm3，则有V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0x1.6)． ∴V＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0x1.6)． ∴V′＝－6x2＋4.4x＋1.6. 令V′＝0，有15x2－11x－4＝0， [点评]　解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择适当的方法求解． 第三章 导数及其应用 人教 A 版数学 章末归纳总结 * * 第三章 导数及其应用 人教 A 版数学